最長上公升子串行LIS

三種方法：dp、貪心+二分、樹狀陣列維護

lis序列不一定唯一，但是長度是唯一的

f[i]代表以a[i]結尾的lis的長度

狀態轉移：$f[i]=max(f[j]+1,f[i]) \quad 1<=j#include

#include

using

namespace

std;

const

int maxn = 103, inf = 0x7f7f7f7f;

int a[maxn], f[maxn];

int n,ans = -inf;

intmain

()for(int i=1; i<=n; i++)

for(int j=1; j

if(a[j] < a[i])

f[i] = max(f[i], f[j]+1);

for(int i=1; i<=n; i++)

ans = max(ans, f[i]);

printf("%d\n", ans);

return0;}

新建乙個 low 陣列，low [ i ]表示長度為i的lis結尾元素的最小值。對於乙個上公升子串行，顯然其結尾元素越小，越有利於在後面接其他的元素，也就越可能變得更長。因此，我們只需要維護 low 陣列，對於每乙個a[ i ]，如果a[ i ] > low [當前最長的lis長度]，就把 a [ i ]接到當前最長的lis後面，即low [++當前最長的lis長度] = a [ i ]。

那麼，怎麼維護 low 陣列呢？

對於每乙個a [ i ]，如果a [ i ]能接到 lis 後面，就接上去；否則，就用 a [ i ] 取更新 low 陣列。具體方法是，在low陣列中找到第乙個大於等於a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果從頭到尾掃一遍 low 陣列的話，時間複雜度仍是o(n^2)。我們注意到 low 陣列內部一定是單調不降的，所有我們可以二分 low 陣列，找出第乙個大於等於a[ i ]的元素。二分一次 low 陣列的時間複雜度的o(lgn)，所以總的時間複雜度是o(nlogn)。

我們再舉乙個例子：有以下序列a[ ] = 3 1 2 6 4 5 10 7，求lis長度。

我們定義乙個b[ i ]來儲存可能的排序序列，len 為lis長度。我們依次把a[ i ]有序地放進b[ i ]裡.(為了方便，i的範圍就從1~n表示第i個數)

a[1] = 3，把3放進b[1]，此時b[1] = 3，此時len = 1，最小末尾是3

a[2] = 1，因為1比3小，所以可以把b[1]中的3替換為1，此時b[1] = 1，此時len = 1，最小末尾是1

a[3] = 2，2大於1，就把2放進b[2] = 2，此時b[ ]=，len = 2

同理，a[4]=6，把6放進b[3] = 6，b[ ]=，len = 3

a[5]=4，4在2和6之間，比6小，可以把b[3]替換為4，b[ ] = ，len = 3

a[6] = 5，b[4] = 5，b[ ] = ，len = 4

a[7] = 10，b[5] = 10，b[ ] = ，len = 5

a[8] = 7，7在5和10之間，比10小，可以把b[5]替換為7，b[ ] = ，len = 5

最終我們得出lis長度為5。但是，但是！！這裡的1 2 4 5 7很明顯並不是正確的最長上公升子串行。是的，b序列並不表示最長上公升子串行，它只表示相應最長子序列長度的排好序的最小序列。這有什麼用呢？我們最後一步7替換10並沒有增加最長子序列的長度，而這一步的意義，在於記錄最小序列，代表了一種「最可能性」。假如後面還有兩個資料8和9，那麼b[6]將更新為8，b[7]將更新為9，len就變為7，可以自行體會它的作用。

因為在b中插入的資料是有序的，不需要移動，只需要替換，所以可以用二分查詢插入的位置，那麼插入n個數的時間複雜度為〇(logn)，這樣我們會把這個求lis長度的演算法複雜度降為了〇(nlogn)。

lower_bound(startpos,endpos,value):在區間[startpos,endpos)[startpos,endpos) [startpos, endpos)[startpos,endpos)內找到第乙個大於等於valuevalue,如果找不到則返回endposendpos

upper_bound(startpos,endpos,value) [startpos, endpos)[startpos,endpos)內找到第乙個大於valuevalue,如果找不到則返回endposendpos


#include
#include
#include
using
namespace
std; 
int num[10]=; 
const
int inf=0x3f3f3f3f; 
int l=10, g[100], d[100]; 
intmain
() 
printf("%d\n", max_); 
return
0; 
} 這裡主要注意一下lower_bound函式的應用，注意減去的g是位址。
位址 - 位址 = 下標。

我們再來回顧o($n^$)dp的狀態轉移方程：$f[i]=max(f[j]+1,f[i]) \quad 1<=j還有一點需要注意：樹狀陣列求lis不去重的話就變成了最長不下降子串行了。


#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn =103,inf=0x7f7f7f7f;
struct
nodez[maxn]; 
int t[maxn];
int n;
bool
cmp(node a,node b)
void
modify
(int x,int y)
//把val[x]替換為val[x]和y中較大的數 
intquery
(int x)
//返回val[1]~val[x]中的最大值 
intmain
()sort(z+1,z+n+1,cmp);//以權值為第一關鍵字從小到大排序 
for(int i=1;i<=n;i++)//按權值從小到大列舉 
printf("%d\n",ans);
return0;}

最長上公升子串行LIS

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最長上公升子串行LIS

LIS 最長上公升子串行

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