假定讀者已經學習過高等代數的euclid空間，並且對內積有一定的理解。在這裡我們首先給出乙個定義：
則稱是上的乙個內積，定義了內積的空間的
稱為是內積空間。 注
這裡並沒有像euclid空間一樣是定義在
上 注注
注對於實數域上的線性空間，可以定義為實的內積空間，這時內積共軛滿足第二條改為
完備的內積空間，我們稱為hilbert空間，我們簡稱
空間(完備性參考一些泛函課本)
接下來考慮空間分解問題，我們從一般的有限維線性空間入手，不妨設
是維的，那麼存在一組基
使得對任意
都有有了正交基，我們知道對於
都可以用這組正交基線性表出：
並且係數
進一步有
我們容易知道
。有了上邊的這些，我們考慮將這一套推廣到一般的內積空間，而且我們不能忽略的乙個事實：正交基是線性無關的.對於一般的函式空間，可以暫時記為
我們可以找到一組互不相關的基
使得接下來看乙個例子：
若在其中
那麼對任意的
都可以用
來表示 若在
同理容易驗證
是一組正交基，同理對於
我們有(注意我們這裡假設
能夠展開成fourier級數，裡邊還涉及到一些收斂問題，以及什麼時候相等等一系列問題，具體參考一些課本)
其中帶入到我們在上述在
定義的內積中，我們得到有
整理一下我們就會得到fourier係數就會有
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