飛蛾為什麼要撲火？
暗梁聞語燕，夜燭見飛蛾。
飛蛾繞殘燭，半夜人醉起。
人類很早就注意到飛蛾撲火這一奇怪的現象，並且自作主張地賦予了飛蛾撲火很多含義，引申出為了理想和追求義無反顧、不畏犧牲的精神。但是，這種引申和比喻，徵求過飛蛾的意見嗎？
後來，生物學家又提出來昆蟲趨光性這一假說來解釋飛蛾撲火。不過，這個假說似乎也不成立。如果昆蟲真的追逐光明，估計地球上早就沒有昆蟲了——它們應該齊刷刷整體移民到太陽或月亮上去了。
仔細觀察飛蛾撲火，就會發現，昆蟲們並不是筆直地飛向光源，而是繞著光源飛行，同時越來越接近光源，最終釀成了「**」。這一行為被解釋成「失誤」似乎更合理一點。既然火燭危險，那麼飛蛾為什麼要繞著火燭飛行呢？
最新的解釋是，飛蛾在夜晚飛行時是依據月光和星光作為參照物進行導航的。星星和月亮離我們非常遠，光到了地面上可以看成平行光，當飛蛾的飛行路徑保持與光線方向成恆定夾角時，飛蛾就變成了直線飛行，如下圖所示。
然而，當飛蛾遇到了火燭等危險光源時，還是按照以前的飛行方式，路徑保持與光線方向成恆定夾角，以為依舊能飛成一條直線，結果悲劇了。此時它的飛行軌跡並不是一條直線，而是一條等角螺旋線，如下圖所示。
可憐的飛蛾！億萬年進化出來的精準導航，在人工光源的干擾下竟如此不堪。
螺線及等角螺線
螺線家族很龐大，比如，阿基公尺德螺線、費馬螺線、等角螺線、雙曲螺線、連鎖螺線、斐波那契螺線、尤拉螺線等等。等角螺線，又叫對數螺線，螺線家族的一員。
早在2000多年以前，古希臘數學家阿基公尺德就對螺旋線進行了研究。公元2023年，著名數學家笛卡爾首先描述了對數螺旋線（等角螺旋線），並列出了螺旋線的解析式。這種螺旋線有很多特點，其中最突出的一點就是它的形狀，無論你把它放大或縮小它都不會有任何的改變。就像我們不能把角放大或縮小一樣。
用極座標分析法分析飛蛾撲火的飛行軌跡，可知，軌跡線上任意一點的切線與該點與原點的連線之間的夾角是固定的，這就是等角螺線得名的由來。因為分析過程使用了對數，所以等角螺線又叫對數螺線。我不太會用latex寫數學公式，所以就用 python 的方法寫出螺線方程。其中，fixed 表示螺線固定角，大於 pi/2 則為順時針螺線，小於 pi/2 則為逆時針螺線。theta 表示旋轉弧度，r 表示距離中心點距離。
r = fixed*np.exp(theta/np.tan(fixed))
1等角螺線在生活中也經常見到，比如，鸚鵡螺的花紋、玫瑰花瓣的排列，星系的懸臂，低氣壓雲圖等。
繪製等角螺線
給定中心點和固定角，乙個等角螺線就被唯一地確定了。這個螺線可以繞很多圈，可以填滿整個宇宙。但很多時候，我們往往只需要觀察螺線上的一小部分，這時候就需要兩個引數來約定：乙個叫作 circle，表示你希望看到多少圈螺線，乙個叫作 phase，表示螺線的可見部分向內（順時針）或向外（逆時針螺線）旋轉多少圈。
這是使用 matplotlib 繪製等角螺線的函式，其中固定角引數 fixed 做了一點處理：以度（°）為單位，以零為中心，大於零則為順時針螺線，小於零則為逆時針螺線
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcparams['font.sans-serif'] = ['fangsong']
mpl.rcparams['axes.unicode_minus'] = false
def plotspiral(core, fixed, phase=0, circle=4):
"""繪製等角螺線
core - 等角螺線的中心座標，tuple型別
fixed - 等角螺線的固定角度，單位：度（°）。fixed大於零則為順時針螺線，小於零則為逆時針螺線
phase - 初始相位，單位：圈（360°）。對順時針螺線，該數值越大，螺線越大，對逆時針螺線則相反
circle - 螺線可見部分的圈數，單位：圈（360°）
"""plt.axis("equal")
plt.plot([core[0]], [core[1]], c='red', marker='+', markersize=10)
fixed_rad = np.radians(90 + fixed)
theta = np.linspace(0, circle*2*np.pi, 361) + phase*2*np.pi
r = fixed_rad*np.exp(theta/np.tan(fixed_rad))
x = r*np.cos(theta) + core[0]
y = r*np.sin(theta) - core[1]
plt.plot(x, y, c='blue')
plt.show()
下圖展示了逆時針等角螺線各個引數的意義：
下圖展示了順時針等角螺線各個引數的意義：
擬合等角螺線
在颱風定位時，需要手動確定颱風中心位置，並標識出颱風螺線軌跡上的部分點，然後逆合出螺線方程。如下圖所示，藍色十字為颱風中心點，5個黃色圓點是手工標註的颱風螺線軌跡上的點。
以下為擬合函式
import numpy as np
from scipy import optimize
if ccw:for i in range(1, theta.size):
while theta[i] < theta[i-1]:
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i] - theta[i-1]
while r[i]/r[i-1] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_ccw)):
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i] - theta[i-1]
else:
for i in range(theta.size-1)[::-1]:
while theta[i] < theta[i+1]:
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i+1] - theta[i]
while r[i+1]/r[i] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_cw)):
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i+1] - theta[i]
# 定義擬合函式
def fmax(theta, fixed, phase):fixed = np.radians(90 + fixed)
return fixed*np.exp((theta+phase*2*np.pi)/np.tan(fixed))
try:
fita, fitb = optimize.curve_fit(fmax, theta, r, [2-int(ccw), 0], maxfev=10000)
return fita
except:
return none
core = (530, 496)
dots = [(467,538), (448,675), (522,484), (513,451), (811,519)]
result = fit_spiral(core, dots)
if isinstance(result, np.ndarray):
plotspiral(core, result[0], phase=result[1], circle=4)
else:
print(u'擬合失敗')
用python對資料進行高斯擬合分布
小李默默吐槽，被這個高斯擬合分布折磨的 下面是正文 首先是公式 自定義函式 deffunc x,a,u,sig return a np.exp x u 2 2 sig 2 然後就是橫縱座標，畫圖 x np.array dist y np.array probability dist popt,pco...
python 線性擬合
1 線性擬合 使用math import math deflinefit x,y n float len x sx,sy,sxx,syy,sxy 0,0,0,0,0for i in range 0 int n sx x i sy y i sxx x i x i syy y i y i sxy x i...
Python 高斯擬合
通常我們進行高斯擬合的辦法是匯入scipy的curve fit 包，不過這需要自己手寫乙個高斯分布的函式表示式，不是很方便，astropy提供了乙個寫好的高斯擬合包 調包from astropy.modeling import models,fitting import numpy as np im...