樹狀陣列的基操

前沿：資料結構

任何乙個資料結構都逃不開這麼幾個東西：增，刪，改，查

樹狀陣列，也叫做二叉索引樹（bit）。

是乙個用來進行區間運算的資料結構。

在一定程度上可以代替線段樹。

樹狀陣列有以下幾個特徵：

1.巧妙地利用了位運算

2.巧妙地結合了樹的資料結構的思想來處理區間問題

3.樹狀陣列的本質還是用來維護序列的字首

樹狀陣列有以下幾個基本操作：

1.樹的節點轉移（位運算）//是2,3,4,的根基

2.單點修改

3.區間修改

4.區間查詢

首先樹狀陣列的大致情況，我給出了一下資料：

演算法競賽入門經典-訓練指南-第194-197頁 

樹狀陣列的時間複雜度和空間複雜度：

1、時間複雜度：

o(logn),這是按照一次更改或者查詢來講的（區域性）

o(nlogn)，這是按照更新所有n個值來講的（整體）

2、空間複雜度：

o（n）（一維）

o（n*m）（二維）

接下來就是以上操作的具體實現的**：

等等，先給出一些陣列

c表示樹狀陣列，a表示原序列

好了，let『s go

1.樹的節點轉移（位運算）//關於這個函式的作用和這樣做的原因，在上面提到的書中有講到

int lowbit(int

x)

2，單點修改

與線段樹相同的是，樹狀陣列如果修改了某乙個點的話，勢必會影響到上層區間的維護的值，那麼單點修改的關鍵就是怎麼維護上層區間的維護的值

下面我給出乙個函式：

void add(int d,int

x)}

3.區間修改

這個涉及到了差分陣列的運用

有關差分陣列和這一部分的數學證明，我在一下鏈結種給出：

void qujian_update(int* arr,int x,int

d)}

4.區間查詢

int query(int* arr,int

x) 
return
ret;
}

現在，我給出乙份完整的函式**：

第乙份：沒有區間修改的樹狀陣列

#includeusing

namespace
std;
int c[20
];int lowbit(int x)//
作用：返回查詢結點的下標
int sum(int x)//
返回1~x的陣列的字首和
return
ret;
}void add(int x,int d)//
即能夠起到修改區間的作用，又能夠起到構建樹狀陣列（二叉索引樹）的作用
}int query(int l,int r)//
作用：查詢l~r的區間和，注意：sum[l,r]=c[r]-c[l-1];
intmain()
string
s; 
while(cin>>s)
else
if(s=="
add")//
修改的命令,在a[x]上加上d => a[x]=a[x]+d
else
if(s=="
change
")//
單點更新=>a[x]=d
}return0;
}

第二份：帶區間修改的樹狀陣列

#include#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define maxn 1200000
#define mod 123456789
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;int
c1[maxn],n,c2[maxn],a[maxn];
int lowbit(int
x)void add(int d,intx)}
void qujian_update(int* arr,int x,intd)}
int query(int* arr,int
x) 
return
ret;
}int
main()
string
s; 
while(cin>>s)
else
}return0;
}

bit還可以用來維護區間，還可以統計逆序數（維護比當前數字小的個數和總和）

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