演算法導論 1 排序演算法

排序演算法是最基礎的一類演算法。主要排序演算法包括選擇排序、插入排序、氣泡排序、合併排序、堆排序和快速排序。把這些排序演算法全部實現一邊，再把《演算法導論》對應章節後面的習題做一遍，確實是系統學習演算法的乙個不錯的開端。

選擇排序的想法很簡單，把需要排序的陣列看成一堆撲克牌：先查一遍，抽出最小的作為第乙個張；在剩下的牌堆裡再查一遍，選出最小的作為第二個元素……重複直到牌堆耗盡。想法簡單的其代價就是執行時間為θ(n×n)：在查詢a、2或3的時候，都要反覆地比較其與k、q的大小，直覺告訴我這樣做沒有意義。

void selectionsort(int* x, int
length)
}int temp =x[minposition];
x[minposition]=x[i];
x[i]=temp;
}}

插入排序的想法類似於從牌堆中摸牌，並插入到手中已經排序過的牌中。在最外層以i為自變數的迴圈中，0~i-1張牌就是手中已排序的牌（迴圈開始時就是第一張牌x[0]），i~length-1張牌就是牌堆，每次迴圈將第i張牌（也就是牌堆頂部的第一張牌）插入到牌堆中。因為手中的牌已經排好序，所以每次插入都會移動所有比這張待插入的牌大的手牌。這個排序演算法的執行時間也很高，為θ(n×n)。

void insertionsort(int* x, int
length)}}
}

合併演算法是一種遞迴的演算法。假設牌堆已經分成兩堆，每一堆都已經排好序，比如一堆是，另一堆是，把這兩堆合併成乙個牌堆的方法很簡單，只要依次比較兩個牌堆頂部的牌，選擇較小的一張加入已排序的牌堆，直到兩個牌堆都空了，這個工作的時間代價僅為θ(n)。如何獲得已排序的兩個牌堆呢？答案是先直接均分為兩堆，再遞迴地呼叫自身去對著兩堆合併排序，直到問題的規模足夠小，比如只剩1張或2張牌。好在將問題分解到足夠小需要的遞迴次數是lgn而不是n，因此該演算法的執行時間為θ(n×lgn)。不過合併排序需要額外的空間開銷，換言之它不是一種原地排序演算法，他的空間開銷為θ(n×lgn)，而原地排序演算法僅僅為θ(n)。

void mergesort(int* x, int
length)
int mid = (length-1)/2
; 
int child1size = mid+1
; 
int* child1 = new
int[child1size];
int child2size = length-mid-1
; 
int* child2 = new
int[child2size];
for(int i=0;i1;i++)
for(int i=mid+1;i)
mergesort(child1,child1size);
mergesort(child2,child2size);
if (j==child2size)
if(child1[i]<=child2[j])
if(child2[j]}
}return
;}

氣泡排序是乙個很簡單的原地排序方法：從陣列的最後乙個元素開始（這個元素就是當前的「泡」）向前遍歷，如果前乙個元素比當前的「泡」小，那麼當前的「泡」就變成了前乙個元素；如果前乙個元素比當前的「泡」大，那麼交換「泡」和該元素的位置（這個「泡」冒上去了）。每一次冒泡到最前面乙個元素，都能保證選擇了最小的「泡」。雖然該演算法執行時間為θ(n×n)，但是在冒前面的「泡」的過程中，後面的相對較小的元素也一定程度地冒上來了（換言之，這次冒泡並不是「無用功」），使得冒比較大的「泡」時經常只需要檢查一下而不用作交換，所以常數因子比較小。

void bubblesort(int* x, int
length)}}
}

堆排序是一種「漂亮」的原地排序方法，其執行時間為θ(n×lgn)。熟悉了最大堆的特性，堆排序的思路就非常簡單了：最大堆的根節點最大，將根節點和堆中的最後乙個元素互換位置，並且將堆的長度減去1；此時堆已經不是最大堆，但是根元素的兩個子堆仍然是最大堆，將這種堆轉化為最大堆的過程heapmax只需要θ(lgn)時間，那麼就轉化為最大堆再取次大的元素。由乙個雜亂陣列建成乙個最大堆的過程heapmaxbuild也需要θ(n×lgn)時間，這不影響總的執行時間量級。

void heapmax(int* xinput, int xsize, int
i) 
if(l>=xsize && r>=xsize)
if(xinput[i]>=xinput[l] && (r>=xsize ? true : (xinput[i]>=xinput[r])))
int maxi=(r>=xsize ? l : (xinput[l]>xinput[r]?l:r));
int temp =xinput[i];
xinput[i]=xinput[maxi];
xinput[maxi]=temp;
heapmax(xinput, xsize, maxi);
}void heapmaxbuild(int* x, int
length)
}void heapsort(int* x, int
length)
}

快速排序的執行時間為θ(n×lgn)，它是一種原地排序演算法。取最後乙個元素作為基準，遍歷一次陣列，將小於基準的元素排在前面，大於基準的元素排在後面，而不在乎同小於或同大於基準的元素之間的順序。一次遍歷之後，將最後乙個元素和大於基準的元素的第乙個交換位置，則基準前方的都是小於基準的元素，後方都是大於基準的元素，再遞迴呼叫自身，對同小於或同大於基準的元素進行快速排序。

int partition(int* x, int p, int
r) }
int tmp =x[i];
x[i]=x[r];
x[r]=tmp;
returni;}
void quicksort(int* x, int p, int
r)}

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