P2324 SCOI2005 騎士精神題解

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簡要題意：

給定乙個初始棋盤，每次乙個馬可以跳到空位（不考慮蹩腿問題）。求到達目標棋盤的最小步數。

本題其實是八數碼難題的乙個強化版，可以去看看 p1379 八數碼難題題解.

首先本題肯定是搜尋。

咦？\(\texttt\) 的效率不是嚴格不優於 \(\texttt\) 的麼？為什麼還要用它呢？

嗯，只要我們加上一點點優化，\(\texttt\) 就不叫 \(\texttt\) 了，它換了乙個名字，叫做 \(\text\) 演算法；如果你再優化億點點，就可以再公升級為 \(\text\) 演算法！

那麼，這些優化是什麼？為什麼只有 \(\texttt\) 才能用呢？而 \(\text\) 都是什麼呢？

我們來一層層解決這個問題。

首先，我們畫出乙個搜尋狀態圖（大概）。

紅色是起點狀態，綠色是目標狀態。在兩紅色輪廓線中的是我們要搜尋的所有狀態。

可是，你會發現有一些東西完全不用搜尋。就比方說，如果跳了一步之後，反而比原來不跳更差了，那麼這步就不用做了。

對，這就是乙個有力的剪枝，這樣的搜尋方式被稱為 \(\text\).

那麼，如果確定當前狀態的優劣性呢？

這時我們引進了估價函式 \(h\)的概念。

\(h\) 它的主要作用是估計當前狀態到目標狀態的步數。（與實際答案相差很大，但可作為參考）其特點在於，\(h\)返回的是最小可能的步數，不可能從當前狀態用 \(步完成問題。

所以，如果當前狀態為 \(x\)，從起點走了 \(g_x\) 步到達 \(x\)，然後其估價函式咕值函式為 \(h_x\)，\(f_x\) 為起點的估價函式。此時我們力求滿足：

\[f_x = g_x + h_x

\]此時搜尋的效率就取決於 \(h\) 到底怎麼寫。如何快速估計最小步數？（小學數學估算題）

比方說，當前狀態（左）與目標狀態（右）如下：

1 1 1 1 1 -> 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 -> 1 0 0 0 0
0 0 * 1 1 -> 1 1 * 0 0
0 0 0 0 1 -> 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 -> 1 1 1 1 1

我們草率地估計，最少需要 \(24\) 步。為什麼呢？

因為這兩個狀態有 \(24\) 個位置不同（除了空位都不同），那麼如果每一步都能讓乙個位置正確地歸位（即達到目標狀態），這樣也需要 \(24\) 步才能讓每個位置歸位，這是我們能估算的較準確值了。儘管與答案相差較大，但這是我們能估算的最大值了。

那麼，如果當前走了一步之後有 \(25\) 個不同（就比方說你把 \(1,2\) 移到 \(3,3\) 空位上），那麼這種搜尋顯然無效，只會變劣，直接停止。

所以你發現這個圖如果用剪枝的話一步也走不了了（因為無論怎麼走都是 \(25\) 個不同），返回無解。這比你大力 \(\text\) 剪枝要快得多吧！

下面我們引進迭代加深搜尋的概念。

什麼叫做迭代加深呢？

比方說，現在你可能搜尋到的最大深度是 \(10^9\)，但答案只有 \(\leq 10\) 步，而寬度隨著深度的增大也**性增長. 此時，你無法用 \(\text\) 和 \(\text\) 任何一種解決。這時需要迭代加深搜尋。什麼意思呢？

大概步驟是：

列舉當前深度（步數），進入 \(\text\).

如果當前搜尋超過深度直接結束；否則向下乙個狀態搜尋。

有解則結束返回當前深度；否則列舉下乙個深度。

深度列舉到一定範圍發現無解則返回無解。

也就是列舉搜尋深度進行搜尋，這樣子一步步搜尋，可以說是基於 \(\text\) 與 \(\text\) 之間的一種演算法吧。

下面我們要將這兩個演算法結合，迭代加深搜尋與 \(\text\) 結合就變成了 \(\text\). 步驟：

列舉最大步數，進入 \(\text\).

如果當前步數 \(+ f\) 值超過最大步數則結束；否則向下乙個狀態搜尋。

有解則結束返回當前步數；否則列舉下乙個步數。

步數列舉到一定範圍發現無解則返回無解。

其實就是在 \(\text\) 基礎上限定深度，在迭代加深搜尋上加乙個有力剪枝。

那麼，本題中這個一定範圍是多少呢？其實你設成 \(15\) 就夠了，因為題目說了：

如果能在 \(15\) 步以內（包括 \(15\) 步）到達目標狀態，則輸出步數，否則輸出 \(-1\)。

如果最大步數超過 \(15\) 就不用再做了。

時間複雜度：\(o(wys)\).（很優卻難以分析的複雜度一般這樣稱呼）

實際得分：\(100pts\).

#pragma gcc optimize(2)
#includeusing namespace std;
inline int read()
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int t,ans=1e9;
char end[6][6]=,
, ,, ,
} ; //結束狀態
char a[6][6];
bool ok=0;
const int dx[8]=;
const int dy[8]=;
inline int g() //不同的個數 , 即估價函式
inline void dfs(int dep,int x,int y,int bs) //如果完全相同則結束搜尋
if(dep==bs) for(int i=0;i<=8;i++) 
}int main() if(!g()) //不同的是 0 個 , 即起點與終點相同
for(int bs=1;bs<=15;bs++) 
} puts("-1"); fin:;
} return 0;
}

文末：還有一種非常卑鄙的優化，因為如果最後答案是 \(-1\) 時間較大（當然可以通過測試）而其餘答案的耗時較小，採取「只要程式執行超過某時間就返回 \(-1\) 的方式」，非常不嚴謹但很實用，可以大大提高效率。建議考試不要用，防止極限（如正好 \(15\) 步）資料。

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