在計算機視覺領域，經常需要檢測極值位置，比如sift關鍵點檢測、模板匹配獲得最大響應位置、統計直方圖峰值位置、邊緣檢測等等，有時只需要畫素精度就可以，有時則需要亞畫素精度。本文嘗試總結幾種常用的一維離散資料極值檢測方法，幾個演算法主要來自**《a comparison of algorithms for subpixel peak detection》，加上自己的理解和推導。
給定如下離散值，求其極值位置。可知125為觀察極值。
\[[60, 80, 100, 120, 125, 105, 70, 55]
\]如果這些離散值是從某個分布\(f\)中等間距取樣獲得，其真正的極值位置應位於120和125之間。
下面給出形式化的定義：給定一組離散值，令\(x\)為觀測到的極值點位置，其值為\(f(x)\)，其左右相鄰位置的值為\(f(x-1)\)和\(f(x+1)\)，真正的極值點位置為\(x+\delta\)，令\(\hat\)為\(\delta\)的估計值。
假設\(x\)的鄰域可通過某個模型進行近似，如高斯近似、拋物線近似，則可以利用\(x\)的鄰域資訊根據模型估計出極值。使用的模型不同就有不同的演算法，具體如下。
一維高斯函式如下：
\[y = y_ \cdot exp(-\frac)
\]當\(y_=\frac\pi}\)時為標準高斯函式，形如
假設\(x\)的鄰域可用高斯近似，用\((x, f(x))\)、\((x-1, f(x-1))\)、\((x+1, f(x+1))\)三點對高斯函式進行擬合，獲得模型引數\(\mu\)即為峰值位置，\(\hat=\mu - x\)。將三點帶入上面的高斯函式兩邊同時取對數求得：
\[\hat = \frac \frac
\]下面可以看到，高斯近似相當於取對數後的拋物線近似。
使用拋物線近似\(x\)的區域性，可以將\((x, f(x))\)、\((x-1, f(x-1))\)、\((x+1, f(x+1))\)三點帶入\(y=a(x-b)^2+c\)求引數\(b\)即為估計的極值位置，也可採用泰勒展開（牛頓法）來求極值。泰勒公式實際上是一種利用高階導數通過多項式近似函式的方法，下面的圖示可直觀理解這種近似，圖示為通過泰勒公式近似原點附近的正弦曲線：
泰勒近似\(x\)附近，如只取到二階則為拋物線近似。假設高階可導，極值為\(f(x+\delta)\)，則根據泰勒公式，
\[f(x+\delta) = f(x) + f'(x)\delta + \frac f''(x)\delta^2 + o(\delta^3)
\]極值處導數為0，這裡\(x\)為常數\(\delta\)為變數，兩邊同時對\(\delta\)求導，忽略高階項可得
\[f'(x+\hat) = f'(x) + f''(x)\hat = 0
\]使用一階微分和二階微分近似\(f'(x)\)和\(f''(x)\)得
\[\hat = - \frac = - \frac= \frac\frac
\]與帶入拋物線求引數的結果是一致的，加上對數則與高斯近似一致。
若將\(x\)、\(x-1\)、\(x+1\)看成質點，將\(f(x)\)、\(f(x-1)\)、\(f(x+1)\)看成質點的質量，則可以把質心作為極值的估計。根據質點相對質心位置的質量加權和為零，可求得質心位置。令\(r\)為質心座標，\(m\)和\(r\)分別為質點質量和座標，則\(n\)個質點的質心滿足
\[\sum_^n m_i(r_i - r) = 0
\]令\(m = \sum_^n m_i\)，質心座標為
\[r = \frac \sum_^n m_ir_i
\]帶入得
\[x + \hat = \frac
\]\[\hat = \frac
\]以上考慮的是3質點系統的質心，還可考慮5質點、7質點等，甚至考慮所有點。
這個模型假設在極值兩側是線性增長和線性下降的，且上公升和下降的速度相同，即\(y=kx+b\)，上公升側\(k>0\)，下降側\(k<0\)，兩者絕對值相同，可以利用這個性質求解極值位置。
若\(f(x+1)>f(x-1)\)則極值位於\((x, x+1)\)之間，可列等式
\[\frac = \frac = \frac
\]解得
\[\hat=\frac\frac
\]同理，若\(f(x-1)>f(x+1)\)求得
\[\hat=\frac\frac
\]這個方法是利用極值處導數為0的性質，在微分濾波結果上插值得到導數為0的位置，因已知極值點在\(x\)附近，因此只需在\(x\)附近做微分和插值即可。插值時取極值點兩側正負值連線的過零點作為極值點的估計，如下圖所示
**real-time numerical peak detector中定義了4階和8階線性濾波器\([1, 1, 0, -1, -1]\)和\([1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1]\)，對應的函式形式為
\[g_4(x)=f(x-2)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)
\]\[g_8(x)=f(x-4)+f(x-3)+f(x-2)+f(x-1) \\
-f(x+1)-f(x+2)-f(x+3)-f(x+4)\]
2階形式為\(g_2(x) = f(x-1) -f(x+1)\)，這些濾波器的表現與數值微分濾波器相似。
當\(f(x+1)>f(x-1)\)時，極值點位於\((x, x+1)\)之間，\(g(x)<0\)，\(g(x+1)>0\)，極值點位置為\(g(x)\)與\(g(x+1)\)連線的過零點，通過斜率求得
\[\hat = \frac
\]若\(f(x-1)>f(x+1)\)，則
\[\hat = \frac - 1
\]這些數值極值檢測方法均是先獲取觀測極值\(x\)及其鄰域資訊，然後綜合鄰域資訊在各自的模型假設下通過插值估計出極值位置。若能知道數值來自的真實分布，則直接擬合真實分布然後求極值即可，但往往我們並不知道真實的分布是什麼，即使知道真實分布，有時為了快速計算，也會採取插值的方式來估計極值，畢竟偏差可接受效果足夠好就可以了。應用時，為了抗噪可對資料先平滑然後求極值，具體採用何種方法可在準確和速度間權衡——所用模型與真實分布越相近自然越準確，如果實在不知道怎麼選，就實踐對比吧（因為我也不知道），畢竟偉大領袖教導過我們——實踐是檢驗真理的唯一標準！
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