字尾自動機相關

本篇部落格主要講一些自己的理解，不喜勿噴

發現網上的部落格關於\(right\)集合只講了如何做，沒有講清原因，於是和同學討論了很久之後記錄一下

如有沒有看懂的地方或者錯誤的地方，歡迎提問或者指出

如有其它疑問也可提出，博主也會進行解答

本部落格內容為對各種方法的理解與深入分析，所以有點部分會長了一點點

若只想知道方法，可跳過中間的思考

\(parent\)樹上的節點與字尾自動機的節點完全一樣，但是邊不一樣

從根節點出發，能走出所有的子串，並只能走出子串

\(endpos\)是乙個集合，表示乙個串出現的所有位置，以最後乙個字元所在位置為出現位置

\(right\)集合表示\(endpos\)相同的子串的集合，乙個\(right\)集合可以表示多個子串，這些子串的長度一定是連續的，並且有字尾關係，\(right\)的大小表示的就是其所表示的\(endpos\)集合的大小，即該\(endpos\)集合有多少元素

兩個\(right\)的關係只有兩種，要麼是包含關係，要麼互相獨立，不會有交集

若兩個串有相同的\(endpos\)，那麼必有乙個為另乙個的子串

乙個\(right\)集合\(r1\)可以被另乙個\(right\)集合\(r2\)包含，此時一定滿足\(r2\)是\(r1\)的字尾

根據2.，我們可以在字尾自動機上從根節點開始跑，可以跑出所有子串，跑到某個點時，此時該點的\(right\)的大小，亦表示當前匹配到的這個字串出現次數

\(parent\)樹可由字尾自動機建出來，每個節點的\(fail\)節點所表示出的字串一定是其字尾，因為\(fail\)節點的\(right\)集合包含該節點。

為什麼？因為字尾自動機就是要建出這樣的樹怎麼建出來可去看其它dalao的詳細講解，本文只會講關鍵意義

自動機節點的字尾表示的是以該節點為末尾的字尾

事先申明，本人打的是陣列版

\(\begin

&fa \rightarrow fail \\

&len \rightarrow longest\ length \\

&size \rightarrow size\ of\ right

\end\)

主串為原串的字首，舊主串為上乙個字首加入自動機後是哪個節點

另外，\(size\)不影響構建字尾自動機，可以忽視，本文會在後面講\(parent\)時講\(size\)

#include #include const int maxn = 2000006;
const int maxc = 27;
int tot=1,last=1;//last -> 舊主串的節點
int fa[maxn],len[maxn],size[maxn];
//fa -> fail fa[x]的right集合一定包含x fa[x]一定是x的字尾
//len[x] -> x為字尾最長串長度
//size[x] -> x 號節點表示的right集合的大小
int son[maxn][maxc];//son[p][c] -> 在p所代表的集合後加c字元，該字元c是哪個節點 亦可認為是邊
//1 號節點為初始節點 初始節點沒有fa
// }
size[np]=1;//該節點right大小初值賦值為1
}//}}}

我們知道，\(right\)在\(parent\)樹上是有各種包含關係

所以要在\(parent\)上求\(right\)集合大小

先將主串的\(right\)集合的大小賦初值為1,該過程在構建字尾自動機時完成

乙個\(right\)集合的大小即為其兒子\(right\)集合的大小的和加上其原本的大小(可能為1)

\(right\)集合沒有交集，主串節點的\(right\)集合的大小就是1

只有主串表示的點能是葉子節點，但是葉子節點的\(right\)集合不僅僅表示主串上的點，且主串上的點不一定是葉子節點

為什麼兩種理解

所以給主串賦初值為1是正確且必須的

所以我們要做的就是，先建出\(parent\)樹，然後在上面跑一次\(dfs\)

當然，我們也可以直接遞推，因為是\(dag\)，所以可以拓撲的去計算，即由兒子算父親，長度越大自然在\(parent\)樹上就處於越下面的位置，所以按照長度從大到小排序，這一步可以選擇\(sort\)，也可以基數排序

\(\mathcal\)

for (int i=2;i<=tot;++i)	add(fa[i],i);//因為根節點沒有fa，所以要從2開始列舉，當然也可以設根節點為0，那麼還得給根節點的fa賦初值為-1，上面特判也得改一下
dfs(1);
void dfs (int p)
}//基數排序 常數較小
for (int i=1;i<=tot;++i) ++cup[len[i]];
for (int i=1;i<=n;++i) cup[i]+=cup[i-1];
for (int i=1;i<=tot;++i) mp[cup[len[i]]--]=i;
for (int i=1;i<=tot;++i) size[fa[i]]+=size[i];

\(right\)集合個人認為很神奇

我們會發現，\(right\)集合的大小僅由主串節點更新，遇到主串節點時其\(size\)就會加1

換句話說，乙個節點\(right\)集合的大小等於其子樹(包括它自己)中，有多少個節點是主串節點

這句話該怎麼理解

那麼乙個節點的\(right\)集合大小等於該串是多少個字首的字尾

所以，在\(parent\)樹上乙個節點的\(right\)集合的大小亦可表示為

\(endpos\)為該\(right\)集合所對應的\(endpos\)集合的串是多少個字首的字尾

亦可表示該子樹中有多少個主串節點

根據2.

從根節點出發，能走出所有的子串，並只能走出子串

在字尾自動機上從根節點出發跑一遍即可

trie樹又被吊打了

這個有兩種方式

若該不同子串有這樣的定義

位置不同的相同子串算不同子串

我們就可考慮7.

根據2.，我們可以在字尾自動機上從根節點開始跑，可以跑出所有子串，跑到某個點時，此時該點的\(right\)的大小，亦表示當前匹配到的這個字串出現次數

先求出每個\(right\)的大小，每遇到乙個結點給答案加\(size\)即可

把從該節點出發還有多少子串記錄下來，然後向\(splay\)那樣跑即可

ll dfs (int x)//先處理出還有多少子串
void kth (int x,ll k)//求第k小
else k-=num[son[x][i]];
} }}

求第\(k\)大只需把迴圈改為從\(26\)向\(1\)列舉即可

用最小表示法既簡單**又短，用什麼字尾自動機

我們將\(s+s\)的字尾自動機建出

然後就是要找乙個最小的長度為\(|s|\)的子串了

同上方**...

就講這麼多吧

這麼辛苦寫了好幾天(寫了一半發現有新問題於是又想了兩天)

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