一些知識點的初步理解 5 梯度下降,ing

梯度下降法又叫最速下降法，英文名為steepest descend method.估計搞研究的人應該經常聽見這個演算法吧，用來求解表示式最大或者最小值的，屬於無約束優化問題。

首先我們應該清楚，乙個多元函式的梯度方向是該函式值增大最陡的方向。具體化到1元函式中時，梯度方向首先是沿著曲線的切線的，然後取切線向上增長的方向為梯度方向，2元或者多元函式中，梯度向量為函式值f對每個變數的導數，該向量的方向就是梯度的方向，當然向量的大小也就是梯度的大小。

現在假設我們要求函式的最值，採用梯度下降法，如圖所示：

梯度下降法的基本思想還是挺簡單的，現假設我們要求函式f的最小值，首先得選取乙個初始點後，然後下乙個點的產生時是沿著梯度直線方向，這裡是沿著梯度的反方向(因為求的是最小值，如果是求最大值的話則沿梯度的方向即可)。梯度下降法的迭代公式為：

其中表示的是梯度的負方向，

表示的是在梯度方向上的搜尋步長。梯度方向我們可以通過對函式求導得到，步長的確定比較麻煩，太大了的話可能會發散，太小收斂速度又太慢。一般確定步長的方法是由線性搜尋演算法來確定，即把下乙個點的座標ak+1看做是

的函式，然後求滿足f(ak+1)的最小值的

即可。因為一般情況下，梯度向量為0的話說明是到了乙個極值點，此時梯度的幅值也為0.而採用梯度下降演算法進行最優化求解時，演算法迭代的終止條件是梯度向量的幅值接近0即可，可以設定個非常小的常數閾值。

下面是網上下的乙個求2元函式最小值的matlab函式實現**，在上面新增了少許注釋。**中關於步長的計算公式還是沒有弄很清楚，用到了hessian矩陣，有點像牛頓法，先不管了，以後有時候慢慢研究。

1 function y=fs2steep(f,e,a,b) %返回的是點座標的2個分量
2 %fs2steep函式 最速下降法
3 % x=fs2steep(f,e,a,b)為輸入函式 f為函式 e為允許誤差 (a,b)為初始點;
4 % fsx tjpu 2008.6.15
5 x1=a;x2=b;
6 q=fs2hesse(f,x1,x2);
7 x0=[x1 x2]'
;8 fx1=diff(f,'
x1'); %對x1求偏導數
9 fx2=diff(f,'
x2'); %對x2求偏導數
10 g=[fx1 fx2]'
; %梯度
11 g1=subs(g); %把符號變數轉為數值
12 d=-g1;%d為搜尋方向
13while (abs(norm(g1))>=e) %norm(g1)為g1的2範數，即sqrt(x1^2+x2^2)，因為梯度其各分量=0，所以其梯度幅值=0
14 t=(-d)'
*d/((-d)
'*q*d);%求搜尋步長，方法是？
15 x0=x0-t*g1; %搜尋到的點
16 v=x0;
17 a=[1
0]*x0;
18 b=[0
1]*x0;
19 x1=a;
20 x2=b; 
21 q=fs2hesse(f,x1,x2);
22 x0=[x1 x2]'
;23 fx1=diff(f,'
x1'); %對x1求偏導數
24 fx2=diff(f,'
x2'); %對x2求偏導數
25 g=[fx1 fx2]'
; %梯度 
26 g1=subs(g);
27 d=-g1;
28end;
29 y=v;
3031 function x=fs2hesse(f,a,b)
32 %fs2hesse函式 求函式的hesse矩陣；
33 %本程式僅是簡單的求二次函式的hesse矩陣！；
34 % x=fs2hesse(f)為輸入函式 f為二次函式 x1,x2為自變數；
35 % fsx tjpu 2008.6.15
36 x1=a;x2=b;
37 fx=diff(f,'
x1'); %求f對x1偏導數
38 fy=diff(f,'
x2'); %求f對x2偏導數
39 fxx=diff(fx,'
x1'); %求二階偏導數 對x1再對x1
40 fxy=diff(fx,'
x2'); %求二階偏導數 對x1再對x2
41 fyx=diff(fy,'
x1'); %求二階偏導數 對x2再對x1
42 fyy=diff(fy,'
x2'); %求二階偏導數 對x2再對x2
43 fxx=subs(fxx); %將符號變數轉化為數值
44 fxy=subs(fxy);
45 fyx=subs(fyx);
46 fyy=subs(fyy);
47 x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩陣

在matlab命令列視窗驗證函式，結果如下：

最優化應用很廣，有很多東西要學，且自己對matlab程式設計還不熟悉，以後慢慢積累吧！

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