[csp2019] 劃分
有乙個長度為 \(n\) 的序列 \(a_i\)
\((n \le 4 \times 10^7)\), 求
\[(\sum_^ a_i)^2 + (\sum_^ a_i)^2 \dots (\sum_+1}^ a_i)^2
\]的最小值.
結論: 上述式子能取到最小值, 當且僅當最後一塊 (即\(\sum_+1}^ a_i\)) 取到了最小值.
證明: 暫時不會.
那我們就 \(dp\) 保證最後一塊最小就行了.
設 \(val[i]\) 為以 \(i\) 結尾的序列的最後一塊的最小值.
那麼對於每一位 \(i\) 只需從 \(i-1\) 到 \(0\) 找到第一位 \(j\) 滿足 \(sum[i] - sum[j] \ge val[j]\), \(val[i]\) 即為 \(sum[i]-sum[j]\). (\(sum\) 為字首和陣列)
可以發現, 每次 \(j\) 值是有單調性的, 所以可以考慮單調佇列優化.
隊頭的篩選很簡單, 滿足要求就 +1, 找到最後乙個滿足條件的 \(j\) 即可.
再考慮隊尾的處理, 如果只是單純的把當前的 \(i\) 加入佇列中的話, 就會出現 "佇列中後面滿足但前面不滿足的情況",
比如說下面這個例子.
7 0設 \(lst[i]\) 為 \(i\) 的上乙個塊的終點.15 19 14 1 5 7 17
在上面這個例子中, \(lst[6]=2\), 那麼 \(i==7\) 時, 隊頭 \(t1\) 就會在 \(2\) 的位置,
但是, 由於 \(lst[3]=1,\ val[3]=33\), 而 \(sum[7]-sum[3]==30 < val[3]\), 所以 \(t1\) 會停在 \(3\).
但是, \(lst[5]=2\), 所以 \(lst[7]\) 實際上是可以取到 \(5\) 的.
所以, 我們可以發現, 要在加入乙個新的選項時, 要去除一些不優情況.
首先想到的是把佇列中 \(val[que[t2]] > val[i]\) 的去掉, ( \(t2\) 為隊尾 )
但是這樣可能會導致後面的一些 \(i\) 取不到滿足要求的 \(j\),
所以我們還要保證當 \(que[t2]\) 對於後面的某個數滿足要求時, \(i\) 也一定滿足要求.
設 \(t\) 為後面的乙個點, 那麼就要滿足: \(sum[t]-sum[que[t2]] \ge val[que[t2]]\) 可以推導到 \(sum[t]-sum[i] \ge val[i]\).
即 $ val[que[t2]] + sum[que[t2]] \ge val[i] + sum[i] $,
那麼, 在把 \(i\) 加入隊尾的時候判斷上述條件, 若滿足則 \(t2--\).
#include#define ll long long
using namespace std;
const int n=5e5+7;
int n,ty,que[n],t1=1,t2,pre[n];
ll a[n],sum[n],val[n],ans;
int main()
que[++t2]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
int p=n;
while(p)
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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