字串匹配的KMP演算法

字串匹配是計算機的基本任務之一。

舉例來說，有乙個字串」bbc abcdab abcdabcdabde」，我想知道，裡面是否包含另乙個字串」abcdabd」?

這種演算法不太容易理解，網上有很多解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到jake boxer的文章，我才真正理解這種演算法。下面，我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的kmp演算法解釋。

1.首先，字串」bbc abcdab abcdabcdabde」的第乙個字元與搜尋詞」abcdabd」的第乙個字元，進行比較。因為b與a不匹配，所以搜尋詞後移一位。

2.因為b與a不匹配，搜尋詞再往後移。

3.就這樣，直到字串有乙個字元，與搜尋詞的第乙個字元相同為止。

4.接著比較字串和搜尋詞的下乙個字元，還是相同。

5.直到字串有乙個字元，與搜尋詞對應的字元不相同為止。

6.這時，最自然的反應是，將搜尋詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把」搜尋位置」移到已經比較過的位置，重比一遍。

7.乙個基本事實是，當空格與d不匹配時，你其實知道前面六個字元是」abcdab」。kmp演算法的想法是，設法利用這個已知資訊，不要把」搜尋位置」移回已經比較過的位置，繼續把它向後移，這樣就提高了效率。

8.怎麼做到這一點呢?可以針對搜尋詞，算出一張《部分匹配表》(partial match table)。這張表是如何產生的，後面再介紹，這裡只要會用就可以了。

9.已知空格與d不匹配時，前面六個字元」abcdab」是匹配的。查表可知，最後乙個匹配字元b對應的」部分匹配值」為2，因此按照下面的公式算出向後移動的位數：

移動位數 = 已匹配的字元數 - 對應的部分匹配值

因為 6 - 2 等於4，所以將搜尋詞向後移動4位。

10.因為空格與c不匹配，搜尋詞還要繼續往後移。這時，已匹配的字元數為2(」ab」)，對應的」部分匹配值」為0。所以，移動位數 = 2 - 0，結果為 2，於是將搜尋詞向後移2位。

11.因為空格與a不匹配，繼續後移一位。

12.逐位比較，直到發現c與d不匹配。於是，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜尋詞向後移動4位。

13.逐位比較，直到搜尋詞的最後一位，發現完全匹配，於是搜尋完成。如果還要繼續搜尋(即找出全部匹配)，移動位數 = 7 - 0，再將搜尋詞向後移動7位，這裡就不再重複了。

14.下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。

首先，要了解兩個概念：」字首」和」字尾」。「字首」指除了最後乙個字元以外，乙個字串的全部頭部組合;」字尾」指除了第乙個字元以外，乙個字串的全部尾部組合。

15.「部分匹配值」就是」字首」和」字尾」的最長的共有元素的長度。以」abcdabd」為例，

-　「a」的字首和字尾都為空集，共有元素的長度為0;

-　「ab」的字首為[a]，字尾為[b]，共有元素的長度為0;

-　「abc」的字首為[a, ab]，字尾為[bc, c]，共有元素的長度0;

-　「abcd」的字首為[a, ab, abc]，字尾為[bcd, cd, d]，共有元素的長度為0;

-　「abcda」的字首為[a, ab, abc, abcd]，字尾為[bcda, cda, da, a]，共有元素為」a」，長度為1;

-　「abcdab」的字首為[a, ab, abc, abcd, abcda]，字尾為[bcdab, cdab, dab, ab, b]，共有元素為」ab」，長度為2;

-　「abcdabd」的字首為[a, ab, abc, abcd, abcda, abcdab]，字尾為[bcdabd, cdabd, dabd, abd, bd, d]，共有元素的長度為0。

16.「部分匹配」的實質是，有時候，字串頭部和尾部會有重複。比如，」abcdab」之中有兩個」ab」，那麼它的」部分匹配值」就是2(」ab」的長度)。搜尋詞移動的時候，第乙個」ab」向後移動4位(字串長度-部分匹配值)，就可以來到第二個」ab」的位置。