2.1 空間曲線的表示與弧長
設空間笛卡爾直角座標係為
，而且a都是t
的連續可微函式
,其中實數a和
b都不一定是有限的，那麼
(1.1)
就表示了空間的一條連續可微曲線c，簡稱曲線，而且t
是曲線c
的引數。反過來，任何一條曲線
c，在一定的範圍內總可用
(1.1)
式表示，稱它為引數方程。
曲線的引數方程(1.1)
常常被寫成為向量函式形式
(1.2)
在曲線 r=r(t)
上取 t=t0
的一點。如果
r'(t0)≠0
，則稱它為正則點。當曲線c
的所有點都是正則點時，則稱曲線
c為正則曲線。
曲線c的引數方程
(1.1)
和(1.2)
不但依賴於引數的選取，而且還同直角座標系的選取有關。另一方面，微分幾何是研究曲線本身固有的性質，即不依賴於座標系選取以及引數選取的性質。因此，我們考慮曲線的自然引數。
對於正則曲線 r=r(t)
，定義(1.3)
為曲線從引數t0
的點到t
處點的弧長，其中
是切向量 dr(t)/dt
的長度。
(1.3)
式是曲線
c內接折線長度的極限。
顯然，弧長s是t
的可微函式，且
(1.4)
我們便得到同一曲線以其弧長s
為引數的方程
(1.5)
通常稱弧長引數s
為曲線的自然引數。
2.2 主法向量、從法向量與活動標架
設曲線c
的引數方程是
r=r(s)。c
在任一點的單位切向量
r'(s)
記為t(s)
。定義 當 r''(s)≠0
時，向量
t'(s)
上的單位向量
n(s)
稱為曲線在
s處的主法向量。過r(s)
以n(s)
為方向的直線叫主法線。
定義 b(s)=t(s)×
n(s)
，稱b(s)
為點r(s)
處的單位從法向量。過點r(s)
而以b(s)
為其方向的直線稱為從法線。
這樣，過曲線c
的任何一點
r(s)
我們就有三個兩兩正交的單位向量
t(s), n(s), b(s)
。我們稱
為曲線在
s處的frenet標架。通過點r(s)
且由這點的切向量與主法向量張成的平面，稱為曲線在這點的密切平面。通過點r(s)
且由切向量與從法向量張成的平面，稱為從切平面。通過點r(s)
且由主法向量與從從法向量張成的平面稱為法平面。
2.4 frenet公式
曲線在每點都有乙個frenet
標架，它是單位正交的右旋標架，所以可用它來作新的直角座標系的標架，並用這個新的直角座標系來研究曲線在這一點鄰近處的性質。
我們得到下列被稱為曲線論基本公式的frenet
公式，
(4.1)
曲線在p0
點附近的一點
p(s)
關於p0
點的frenet
標架的座標可按
taylor
級數展開為
其中r=(rz, ry, rz)
。(4.4)
式稱為bouquet公式，或稱為曲線在p0的鄰域內的區域性規範形式。
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