動態規劃最長單調子串行問題

求乙個正整數序列的最長單調自增子序列，子串行不要求是連續的。例如

input：5

5 2 4 3 1

output：2

確定狀態轉移方程，設f[i]是以a[i]為結尾的最大值的子串行的長度，那麼\[\max \ \]的最大值就是要的結果。

所以轉移方程為：

\[f(i) = \max \ > \} + 1\]

所以**可以為：

void main(void)
; int dist[6];
int path[6];
int num = 6;
int i = 0;
for(i = 0; i < 6; i++)
for(i = 0; i < num; i++)
//if
}//for
dist[i] = temp + 1;
path[i] = index;
}//for
//找到最大的那個值
int max = 0;
int maxindex = -1;
for(int m = 0; m < num; m++)
}//for
printf("最長單曾子串行的長度是%d.\n", max);
while(path[maxindex] != -1)
//while
printf("%d\n", arr[maxindex]);
}

很顯然時間複雜度是o(n*n)，那麼有沒有更快的演算法呢？按照正常的思路更快的複雜度應該就是o(n*logn)，那麼就要涉及到二分了。

建立乙個輔助陣列c[n]，c[i]=j儲存的是子串行長度為i的序列最後乙個值j（實際上子串行長度為i的子串行有多個，要的是子串行最後乙個值最小的）。

這時要遍歷要處理的陣列arr[n]。

for(i=0;i請看一下上面的例子實際執行的情況：c陣列變化的情況
-15-1
2-124
-112-1
14-11
3

arr陣列遍歷是從前往後的，處理arr[i-1]時arr[i]以及後面的值肯定還沒有處理，前面的值都處理過了，看c陣列，每個arr陣列中的值和c陣列中值進行比較，找到合適的位置插入（若插入到c陣列的末尾，那麼就屬於最長遞增子串行長度加1，實際上c陣列的長度就是最後的最長單調遞增子串行的長度。），否則這就替換掉了c陣列中原來位置儲存的值，這種替換是有意義的，主要是為了後來的arr陣列中的值計算dist用（dist[i]中儲存的是以arr[i]為最後乙個元素的最長單調遞增子串行。）好處是若arr[i]

下面給出完整的演算法

#include #define max 100
void fill(int a, int len);
int find(int a, int clastindex, int x);
int main()
; int dist[max] = ;
int c[max];
int num; //原始數字序列的長度
int i = 0;
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
printf("讀取數字序列長度...\n");
scanf("%d", &num);
printf("讀取數字序列...\n");
for(i = 0; i < num; i++)
//for
//初始化c陣列，長度是arr陣列+1
fill(c, num + 1);
c[0] = -1; //使得遞增數列的最小值為-1
for(i = 0; i < num; i++)
//for
//c陣列中儲存的就是結果的數字序列，列印一下
i = 1;
while(c[i] != 100)
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}void fill(int a, int len)
}//在陣列a中，尋找數字x
//如果存在返回其下表，如果不存在返回其該插入的位置，會覆蓋掉原來在該位置的數字
int find(int a, int clastindex, int x)
else if(x < a[mid])
else
mid = (left + right) / 2;
}//while
return left;
}//find()

通過上面的**可以看到，其實dist陣列根本沒有用到，只用c陣列就能求解問題，其實這種演算法已經不是動態規劃了，雖然它的時間複雜度比動態規劃的要好。這個演算法的根本思想就是想到乙個c陣列，這個有序遞增的陣列用來儲存最長的子串行。確實是一種很不錯的手法。

測試資料：

6104

2010

1513

執行結果：

讀取數字序列長度...

讀取數字序列...410

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