演算法導論2 幾個習題 2016 1 2

二、氣泡排序

氣泡排序效率幾乎是所有排序裡最低的，但卻很流行，就是因為它的程式設計複雜度也是最低的。大多數時候，效率還不及插入排序，其實氣泡排序、插入排序、選擇排序基本上效果是差不多的（這個效果不是功能。。功能上講肯定差不多啊都是排序），只是過程略有區別。既然寫到這裡，就自己總結一下三者吧。

1.插入排序——摸撲克牌的過程

假定前乙個是有序的，把第二個插進它應當在的位置，那麼前兩個就是有序的了，把第三個插進它應當在的位置，那麼前三個就是有序的了……直到前n個有序。這與打撲克摸牌的時候我們做的事差不多。

時間主要耗費在插入和挪動上了。複雜度n^2。

2.氣泡排序——高矮個自行排隊

首先對最後乙個人說：「如果你前面的人比你高，你就和他換一下。」（現在倒數第二個人就是後兩個人裡最矮的了）

然後對倒數第二個人說：「如果你前面的人比你高，你就和他換一下。」（現在倒數第三個人就是後三個人裡最矮的了）

然後對倒數第三個人說同樣的話……一輪下來，第乙個人就是最矮的那個（其實和選擇排序有點像，不過選擇的方式不太一樣，而且排的過程中就有讓佇列趨向有序的傾向）

對後n-1個人執行同樣的過程……直到對最後2個人執行同樣的過程。

時間主要耗費在交換上。複雜度n^2。

3.選擇排序——老師給排隊

首先，老師從所有人裡選乙個最矮的，跟第乙個人交換位置。然後從後n-1個人裡選乙個最矮的，跟第二個人交換位置……直到從後乙個人裡選乙個最矮的，放在最後。

時間主要耗費在選擇最值上了。複雜度n^2。（後面會有乙個堆排序，就是優化了選擇過程，從而實現了nlgn的複雜度）

可以看出，這三種都是正確的排序演算法。下面是氣泡排序的**：

#includevoid bubblesort(int *a,int l,int
r) }
}}int
main()
; 
inti;
for (i=1;i<=n;i++) 
bubblesort(a,
1,n);
for (i=1;i<=n;i++) 
return0;
}

三、霍納規則的正確性

這是乙個求多項式函式的值的方法，看完**簡直跪了，竟然如此簡潔的完成了這個功能！

霍納規則是採用最少的乘法運算策略，求多項式a(x) = anxn+ an-1xn-1+...+ a1x + a0在x0處的值，該規則是a(x0)=(...((anx0+ an-1)x0+...+ a1)x0+ a0)

下面是實現的**：

#includedouble horner(double *a,int n,double
x) 
returny;}
intmain()
; 
for (i=0;i<=n;i++) 
printf(
"a(x)=");
printf(
"%.2lf
",a[0
]); 
for (i=1;i<=n;i++) 
printf("\n
");while (1
) 
return0;
}

四、逆序對問題

先是逆序對的定義：乙個n個互異元素的陣列a，求滿足ia[j]條件的數對個數。

輸入：n（元素個數），a陣列輸出：逆序對個數

很容易想到就是逐個比較的n^2的演算法，但是演算法導論上引導出了nlgn的演算法。（修改歸併排序）

首先，如果乙個陣列的已經知道了，前半部分內部的逆序對的個數k1，後半部分的逆序對的個數k2，並且兩部分都已經由小到大排好序了。那麼在merge的過程中就可以順便把兩部分之間的逆序對個數k求出來（因為前半部分比後半部分大的數一定是個逆序對）。那麼總的逆序對的個數就是k1+k2+k。

那麼，怎麼求出前半部分逆序對的個數呢？同樣的方法，求出前半部分，後半部分，兩部分之間。return和。所以就是乙個遞迴的問題，只需要修改一下歸併排序即可。

下面是**：

#includeint mergenixu(int *a,int *b,int l,int mid,int
r) 
else
}while (i<=mid) 
while (j<=r) 
for (i=l;i<=r;i++) 
returnk;}
int mergesortnixu(int *a,int *b,int l,int
r)int
main()
,b[11]={};
scanf("%d
",&n);
inti;
for (i=1;i<=n;i++) 
int k=mergesortnixu(a,b,1
,n);
for (i=1;i<=n;i++) 
printf(
"\n%d
",k);
return0;
}

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