有標號的DAG計數I IV

最近心血來潮來寫一寫這個玩意兒。

請特別注意定義生成函式時下標的起始位置。

求$n$點帶標號$dag$的數量模$10007$。$n\le5000$。

資料範圍顯然$o(n^2)$。設$f_i$表示答案，列舉$dag$中入度為零的點的數量$j$，方案數為$\binom ij$，將圖拆成兩個部分，前$j$個點向後$i-j$個點的連邊任意，方案數為$2^$，後$j$個點構成一張$dag$，方案數為$f_$。

但是這樣並不保證入度為零的點只有$j$個，所以需要容斥。

\[f_i=\sum_^i(-1)^\binom ij2^f_

\]求$n$點帶標號$dag$的數量模$998244353$。$n\le100000$。

首先$2^$需要處理一下。需要想辦法把$ij$項去掉。

$j(i-j)=\frac-\frac-\frac$。

好在模$998244353$意義下存在$2$的二次剩餘。所以可以把原遞推式劃一劃。

\[f_i=\sum_^i(-1)^\frac\frac}\sqrt2^}f_

\]令$f(x)=\sum_^n\frac}x^i,g(x)=\sum_^n\frac}}x^i$，

則有$f(x)=g(x)f(x)+1$，故$f(x)=\frac$。

多項式求逆即可。

求$n$點帶標號$dag$的數量模$10007$，要求圖弱連通。$n\le5000$。

首先還是把前面的$f_i$求出來，然後列舉某乙個點所在的弱連通$dag$大小，有遞推式：

\[g_i=f_i-\sum_^\binomf_jg_

\]求$n$點帶標號$dag$的數量模$998244353$，要求圖弱連通。$n\le100000$。

劃一下式子：

\[\frac=\frac-\sum_^\frac\frac}

\]設$f(x)=\sum_^n\fracx^i,g(x)=\sum_^n\fracx^i,h(x)=\sum_^n\fracx^i$，

則有$g(x)=h(x)-f(x)g(x)$，故$g(x)=\frac$。

以上是方法一。

方法二非常地有趣。我們發現乙個帶標號的$dag$不要求弱連通實質上是由若干個弱連通$dag$構成的，我們設第二題答案的指數生成函式為$f(x)$，第四題答案的指數生成函式為$g(x)$，於是就有$$f(x)=e^$$

也就是$$g(x)=\ln f(x)$$

多項式求$\ln$即可。

#include#includeusing namespace std;
const int n = 5005;
const int mod = 10007;
int n,c[n][n],bin[n*n],f[n];
int main()

#include#includeusing namespace std;
const int n = 3e5+5;
const int mod = 998244353;
const int rem = 882049182;
int n,jc[n],jcn[n],g[n],f[n],rev[n],og[n];
int fastpow(int a,int b)
return res;
}void init(int len)
return res;
}void init(int len)
return res;
}void init(int len)
void get_der(int *a,int *b,int len)
void get_int(int *a,int *b,int len)
int s2[n],s3[n];
void get_ln(int *a,int *b,int len)
int main()
int len=1;while (len<=n) len<<=1;
get_inv(g,f,len);
for (int i=0;i<=n;++i) f[i]=1ll*f[i]*fastpow(rem,1ll*i*i%(mod-1))%mod;
for (int i=n+1;imemset(g,0,sizeof(g));get_ln(f,g,len);
printf("%lld\n",1ll*g[n]*jc[n]%mod);
return 0;
}

有標號的DAG計數I IV

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有標號的DAG計數 II

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