問題在這裡：每使用乙個寶石，有50%的概率會成功讓寶劍公升一級，50%的概率會失敗。如果寶劍的級數大於等於5的話，那麼失敗會使得寶劍降1級。如果寶劍的級數小於5的話，失敗沒有效果。問題是：期望用多少個寶石可以讓一把1級的寶劍公升到9級？
記從i級的寶劍公升級到i+1級的寶劍需要的寶石數目為e(i)。由於每個級別的公升級可以單獨分開看，則e(1) + e(2) + e(3) + ... + e(8)的結果即是所需要的寶石數。
個人覺得解決這個問題需要用到極限的思想和遞迴的思想。讓我們先從1級公升2級說起
e(1) = 0.5 * 1(失敗0次，成功1次） + 0.5 ^ 2 * 2（失敗1次，成功1次）+ 0.5 ^ 3 * 3 （失敗2次，成功1次）+ ... 式（1）
這是單純考慮1級公升級到2級所有可能性的思路，並疊加這些可能性。從這個式子可以判定，e(1)背後的這個數列求和是個收斂的確定值。那麼單純使用一顆寶石公升級的情況如何呢？
有0.5的概率成功，此時只需一顆寶石；還有0.5的概率失敗，此時不會降級，問題仍然是從1級公升級到2級，需要的寶石1 + e(1)顆。也就是：
e(1) = 0.5 * 1 + 0.5 * (e(1) + 1) 式(2)
解這個等式，可以得到e(1) = 2.
注意這裡我們用到的邏輯，首先證明e(1)存在且唯一，接著帶入單純一顆寶石的情況，發現這顆寶石公升級失敗後，所面臨的公升級問題仍然和最開始的一樣。於是就可以從式（2）直接求出e(1)的結果
在類似的情況裡，e(2) = e(3) = e(4) = e(1) = 2
到e(5)時，新出現的問題是公升級失敗後會退回到4級。
仍然考慮所有可能性的思路，
e(5) = 0.5 * 1（失敗0次，成功1次） + 0.5 ^ 3 * c(3, 2) * 3 （失敗1次，成功2次） + 0.5 ^ 5 * c(5, 3) * 5 （失敗2次，成功3次）+ ... 式（3）
其中c(n, k)是組合數求解公式。直接計算這個表示式是困難的。但我們所知道的是e(5)存在且唯一。
考慮單純使用一顆寶石公升級的情況，有0.5的概率成功，需要寶石為1顆；有0.5的概率失敗，這本身會消耗一顆寶石，然後需要從4級公升到6級，也就是e(4) + e(5)：
e(5) = 0.5 * 1 + 0.5 * (1 + e(4) + e(5)) 式（4）
求解式（4）後有，e(5) = 4.
同理可求得，e(6) = 6, e(7) = 8, e(8) = 10
總共所需寶石數期望為e(1) + e(2) + ... + e(8) = 36顆
important 至高無上的寶劍
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