目錄性質
高斯消元求解
\[d =
\left| \begin
a_ & a_ & a_ \\
a_ & a_ & a_ \\
a_ & a_ & a_ \\
\end \right|\]
上圖是乙個三階行列式，行列式是形如上圖的乙個東西，簡記為： \(det(a_)\), 其中\(a_\)是行列式的第\(ij\)元。
乙個n階行列式的值為：
\[\sum (-1)^t a_ a_ ... a_
\]其中\(t\)是\(1\)～\(n\)的排列\(p_1, p_2, p_3...,p_n\)的逆序對個數。
三角形行列式
滿足如下等式：
\[d =
\left| \begin
a_ &. &. & ... \\
a_ & a_ &. & ... \\
a_ & a_ & a_ & ...\\
. & . & . & .\\
. & . & . & .\\
a_ & a_ & ... & a_
\end \right| = a_a_...a_\]
對角行列式
滿足如下等式：
\[d =
\left| \begin
\lambda_1 & & & &\\
& \lambda_2 & & &\\
& & . & & \\
& & & . & \\
& & & & \lambda_n
\end \right| = \lambda_1 \lambda_2 ... \lambda_n\]
相當於特殊的三角形行列式
前置知識
轉置行列式：
將行列式\(d = det(a_)\)沿從左到右的對角線映象翻轉，得到乙個新的行列式，稱這個新的行列式為它的轉置行列式。即原來的\(a_\)會與\(a_\)交換位置。
性質一
行列式與它的轉置行列式相等性質二
交換行列式的兩行(列)，行列式變號性質三推論：如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等於零
行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一數\(k\)，等於用數\(k\)乘行列式性質四推論：行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式記號外面
行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。性質五
若行列式的某一行(列)的元素都是兩數之和，例如第\(i\)行的元素都是兩數之和：
\[d =
\left| \begin
a_ & a_ & ... & a_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_ + a'_ & a_ + a'_ & ... & a_ + a'_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_ & a_ & ... & a_
\end \right|\]
則\(d\)等於下列兩個行列式之和:
\[d =
\left| \begin
a_ & a_ & ... & a_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_ & a_ & ... & a_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_ & a_ & ... & a_
\end \right| +
\left| \begin
a_ & a_ & ... & a_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a'_ & a'_ & ... & a'_\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
a_ & a_ & ... & a_
\end \right|
\]性質六
把行列式的某一行(列)的各元素同乘同乙個數然後加到另一行(列)對應的元素上去，行列式不變。由性質六和對角線行列式的計算方式可得，如果我們把行列式當做乙個\(n\)元一次方程組，然後解出對角矩陣，再將對角線上的元素相乘，即可得到行列式的值。
高斯消元法求解行列式
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