總目錄 > 2 演算法基礎 > 2.6 倍增思想
前言
倍增通常和二分一起介紹，共同點在於——它們都能神奇地將原本複雜度為 n 的過程下降到 log n，對於大型資料而言，這種效率的提高是顯而易見的。
子目錄列表
1、二進位制與倍增
2、例題
3、應用
2.6 倍增思想
1、二進位制與倍增
眾所周知，二進位制與十進位制轉換關係：o = 2 ^ a * + 2 ^ b + ... + 2 ^ i，比如 77 = 2 ^ 6 + 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 0，則其二進位制表示為 1001101。換言之，任何乙個整數都可以由若干個係數為 1，x 為 2 的 2 次方冪的和組成。
所以尤記得小學時有個比較經典的問題：
如何用盡可能少的砝碼稱量出 [1, 30] 之間的所有重量？（天平左側放物品右側放砝碼）
根據上述原理，則只需要 1, 2, 4, 8, 16 五個重量級的砝碼即可，能夠組成 [1, 30] 之間的任意數。
如果修改成 [1, 60] 呢？多乙個 32 即可；
如果修改成 [1, 21647483647] 呢？則再加上 2 ^ 6, 2 ^ 7, ..., 2 ^ 30，總共也只需要 31 個砝碼。
注意到，我們將這個看似巨大的數字，通過這個思路，很輕鬆地就得到了log n級別的乙個結果。而倍增思想，字面意思就是翻倍，其實就是建立在二進位制和十進位制這個關係上的。
2、例題
給出乙個長度為 n 的環和乙個常數 k，每次可以從第 i 個點跳到第 (i + k) mod (n + 1) 個點，總共跳 m 次。第 i 個點的權值為 a[i]，求 m 次跳躍的起點的權值之和 mod 1e9 + 7。
（原題面沒有給出初始位置？）
強調一下資料範圍：m <= 1e18，也就是說我們不可能對於每一次跳躍都記錄位置。由於只需要知道 m 次跳躍的權值和，過程其實並不重要，那麼就可以採用倍增的方式。
假設 n = 5, m = 29，將環拆成線性的。下圖為跳躍**：
選擇在終點之前最遠的跳躍方式：從第 1 個位置跳到第 9 個位置。
從第 9 個位置跳到第 13 個位置。
最後從第 13 個位置跳到第 14 個位置，圖略。
**略。
3、應用
倍增思想最常見的應用：快速冪，lca 和 rmq 問題等等。
快速冪請參見：6.2 快速冪
倍增 lca請參見：《施工中》
rmq 問題請參見：《施工中》
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