這周拿到一道有趣的題，決定寫篇blog記錄一下。
問題描述如下：
在一條長度為1的線段上任取兩個點，求這兩個點表示的線段的期望長度。
這道題有很多種解法，非常有意思。
首先，對於期望，它是這麼個東西：
\(e(x)=\sum_^n p_ix_i\)，其中\(e(x)\)表示事件\(x\)的期望，\(p_i\)表示情況\(x_i\)出現的概率，\(n\)為情況總數。
用人話講就是事件\(x\)所有情況的平均值，簡稱均值。
解法一：
正統解法，概率。
如果學過高數，可以很容易轉換成數學模型：
設 \(x \in [0,1],y\in[0,1]\)，求\(\mid x-y\mid\)的均值。可以看到\(x,y\)屬於連續性隨機變數且服從均勻分布。顯然有當\(\mid x-y \mid\)為某一定值\(t\)時，該情況成立時\(x,y\)構成的點集在座標軸上形成兩條直線\(x-y=t,-y+x=t\)。考慮所有情況，我們只需對所有情況進行積分即可，即求所有合法直線在\(x\in[0,1],y\in[0,1]\)構成的面積。
解法二：
排列組合。
想象在一段區間上取點，我們把該區間分為\(n-1\)段，即共\(n\)個點組成的方案選擇問題。那麼，對於一段長度為\(t\in[0,n]\)的區間，它能夠取的情況數是\(2*(n-t)\)。總共的能取的區間總數為\(2*c_n^2+n-1\)，即\(n^2\)。所以期望就是
\[\frac^n (n-t)*t}
\]將其轉化為實數域上的問題，並將\(n=1\)代入，化簡後得
\[2\int_0^1 (x-x^2)dx
\]當然你不積分，直接等差數列求和也行。
類似於此種解法，我們還可以從乙個點所能取到的方案數入手，而不是一段區間\(t\)，最後的結論也是一樣的。
解法三：
鬼畜做法，古典概型。
設該區間被三個端點\(x,y,z\)分為兩段，實際上我們所要解決的問題就是：任取兩個點\(x,y\)，並使\(z\)落在\(x\sim y\)之間。
只有兩種情況成立，即\(x，於是
\[\frac
\]做完了。
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