安徽集訓 Entropy

出題人羅哲正是神爺 orz

這是一道披著互動題外衣的通訊題，只支援 c++。

你需要實現 $2$ 個函式。

互動庫先給第乙個函式傳入乙個引數 $n$，你加密得到的 $01$ 字串的長度必須是 $n。你需要根據 $n$ 做一些相應的預處理，並向互動庫返回你能接受的最大 $\text$ 型別整數 $m$。

先根據你返回的 $m$ 給分。若 $m_\gt m_$ 則你得 $0$ 分，若 $m_=m_$ 則你得 $100$ 分，否則你得 $0.5\frac}}}}$ 分。

這題出到這裡可以結束了。但出題人為了驗證你的 $m$ 是算的還是蒙的，又給了 $q$ 次操作，每次操作中：

互動庫向第乙個函式輸入乙個 $[0,m-1]$ 內 $\text$ 型別的數，你可以用任意加密手段，將該數加密成乙個 $n$ 位 $01$ 字串並返回給互動庫。

然後互動庫向第二個函式輸入你剛才加密得到的密串，這個密串有可能被互動庫惡搞，導致該串所有位取反，然後整個串翻轉。你需要用適當的解密手段，將其解密為一開始向第乙個函式輸入的 $\text$ 型別的數，並返回給互動庫。

每次操作後，互動庫會判斷第二個函式返回的數是否和一開始向第乙個函式輸入的數一樣。

一旦有一次操作加密前的數和解密後的數不一樣，你就得不到解密分數，即之前根據 $m$ 得的分數打折 $20\%$。

有防作弊機制（即開全域性變數記錄原數），詳見原題面。

subtask1 (30pts)：$n\le 18$

subtask2 (70pts)：$n\le 60$

對於所有資料，$0\le q\le 50000$

由於互動題描述很長，我懶得一字不差地搬完，下面放上完整題面，但問題描述寫得有點噁心，我一開始沒看懂

設 $k$ 是長度為 $n$ 且被惡搞後不變的串的數目。

先考慮 $n$ 是奇數的情況。

顯然翻轉之後正中間的乙個 bit 一定會取反，此時 $k=0,\space m=2^$。編碼方式也很簡單，讓正中間的 bit 為 $0$，解碼時若正中間的 bit 為 $1$ 則執行惡搞操作。

然後是(我)想不到的 $n$ 是偶數的情況。

不難算出 $k=2^}$，因為乙個串被惡搞後與原串相同，當且僅當這個 $01$ 串的第 $1$ 位與第 $n$ 位不同，第 $2$ 位與第 $n-1$ 位不同，第 $3$ 位與第 $n-2$ 為不同，以此類推，共 $\frac$ 組對稱位。這些被惡搞後不變的串互不混淆，都可以作為密串。

對於其餘所有被惡搞後有變化的串，一定是兩兩配對，共 $\frac}}$ 對。每一對中我們只能使用乙個數作為加密後的串，因為一對中的 $2$ 個都選的話，萬一互動庫把你加密後的串惡搞了，你就無法區分這兩種密串，也就不知道應該用哪種密串解密出原數。

那麼在密串長度為 $n$ 的限制下，共有 $2^} + \frac}} = 2^ + 2^-1}$ 種互不混淆的密串。

神奇操作：我們可以把 $[0,m-1]$ 種所有整數一一對映到這些密串，故 $m=2^ + 2^-1}$。

那我們怎麼構造一種對映方式呢？

我們肯定得從密串中摳出 $1$ 或 $2$ 位，來標記這個串是否被惡搞，不然肯定沒法做。

而且為了固定這個標記位，即被惡搞後不會翻轉到對稱位（你的第 $2$ 個程式無法判斷收到的密串的標記位有沒有被翻到對稱位，因為你只能通過標記位判斷密串有沒有翻轉），若摳出 $1$ 位，那麼串長 $n$ 必須是奇數，而這裡是偶數，舍。故我們要從密串中摳出 $2$ 位，且這 $2$ 位對稱。

摳**呢？

這裡一般就是盲猜結論了，大佬們都覺很簡單……當然我可以寫乙個推法(?)

把 $m=2^ + 2^-1}$ 的值寫成二進位制數，發現只有 $2$ 位為 $1$，故該值也寫成 $2^} - \sum\limits_^ 2^$

$2^$ 可以拆成 $2^ 2^$

觀察一下這是什麼？設摳掉了密串的第 $k$ 位和第 $n-k+1$ 位，$k-1$ 表示的是密串前 $k-1$ 位和後 $k-1$ 位，$n-2k$ 表示的是密串的第 $k+1$ 位到第 $n-k$ 位。那麼，第 $k$ 位和第 $n-k+1$ 位就被空出來了！可以把這兩位當作標記位！

設 $x$ 為滿足密串第 $x$ 位不等於第 $n-x+1$ 位條件下的最小值，我們把所有密串按 $x$ 從小到大分類。顯然 $x$ 的範圍是 $[1,\frac+1]$，其中 $x=\frac+1$ 的意義比較特殊，表示每一組對稱位上的數都相同。

由於前 $x-1$ 組對稱位上的數都相同，故給每一位放乙個 $0$ 或 $1$，方案數為 $2^$；第 $x+1$ 到 $\frac$ 組對稱位上的數沒有要求，故給每一位放乙個 $0$ 或 $1$，方案數為 $2^$。

發現這種設標記位的方式恰好可以對映 $m$ 個數。於是我們可以據此構造對映方式了！

對映方式很簡單，我們把密串看成二進位制數，自創乙個二進位制數比大小的規則，以確定 $m$ 個用於對映的二進位制數的排名，其排名 $-1$ 就是對映到的 $[0,m-1]$ 中的原數。

規則：以 $x$ 從小到大為第一關鍵字，第 $1$ 到 $n-x+1$ 組成的二進位制數從小到大為第二關鍵字。

有了規則，設原數為 $a$，則加密時求排第 $a+1$ 名的密串，解密時求密串的排名 $-1$ 即可。

#include#define ll long long
using namespace std;
class entropy
string getstr(char x) 
string encode(ll x)
break;
}x -= y;}}
return ret;
}ll decode(string str)
}else}}
else
for(int j=n-i-2; j>i; j--) 
}ret += tmp;
break;
}ret += (1ll
return ret;
}};#include "entropy.h"

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Entropy演算法python實現

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