國家集訓隊2010 小Z的襪子 莫隊演算法

2022-05-02 04:15:09 字數 2677 閱讀 2187

作為乙個生活散漫的人,小z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天,小z再也無法忍受這惱人的找襪子過程,於是他決定聽天由命…… 

具體來說,小z把這n只襪子從1到n編號,然後從編號l到r(l 儘管小z並不在意兩隻襪子是不是完整的一雙,甚至不在意兩隻襪子是否一左一右,他卻很在意襪子的顏色,畢竟穿兩隻不同色的襪子會很尷尬。 

你的任務便是告訴小z,他有多大的概率抽到兩隻顏色相同的襪子。當然,小z希望這個概率盡量高,所以他可能會詢問多個(l,r)以方便自己選擇。

第一行包含兩個正整數n和m。n為襪子的數量,m為小z所提的詢問的數量。 

接下來一行包含n個正整數ci,其中ci表示第i只襪子的顏色,相同的顏色用相同的數字表示。 

再接下來m行,每行兩個正整數l,r表示乙個詢問。

包含m行,對於每個詢問在一行中輸出分數a/b表示從該詢問的區間[l,r]中隨機抽出兩隻襪子顏色相同的概率。若該概率為0則輸出0/1,否則輸出的a/b必須為最簡分數。(詳見樣例)

sample input

6 4 

1 2 3 3 3 2 

2 6 

1 3 

3 5 

1 6sample output

2/5 

0/1 

1/1 

4/15

樣例說明: 

詢問1:共c(5,2)=10種可能,其中抽出兩個2有1種可能,抽出兩個3有3種可能,概率為(1+3)/10=4/10=2/5。 

詢問2:共c(3,2)=3種可能,無法抽到顏色相同的襪子,概率為0/3=0/1。 

詢問3:共c(3,2)=3種可能,均為抽出兩個3,概率為3/3=1/1。 

注:上述c(a, b)表示組合數,組合數c(a, b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。 

資料範圍: 

30%的資料中 n,m ≤ 5000; 

60%的資料中 n,m ≤ 25000; 

100%的資料中 n,m ≤ 50000,1 ≤ l < r ≤ n,ci ≤ n。

第一次看到這題,第一想法是用線段樹或者樹狀陣列維護一下,但仔細一想,似乎不行,因為本題的區間不滿足加和性質。於是就需要用到莫隊演算法。

莫隊演算法可以解決已經知道區間[l,r]的答案,然後可以在o(1)(或者o(log n))的時間內求出[l,r+1],[l,r-1],[l-1,r],[l+1,r]的答案的問題。  

現在知道,在區間[l,r]中,答案是 (x2

+y2+z2

.......−(r−l+1))/((r−l+1)(r−l))

(x,y,z分別代表區間中不同顏色襪子的個數)。

顯然,這是滿足上面的性質的。假如我們按照讀入順序依次求解的話,複雜度為o(n2

),不是特別滿意。

這時我們就需要用到莫隊演算法,莫隊演算法的核心就是改變求解詢問的順序,從而減少運算的次數。那麼,怎麼樣改變順序來使速度最快呢?可以把每個區間都看做2維平面上的點,這些點的距離為橫,縱座標之差,然後我們可以o(n logn)求出這些平面點的曼哈頓最小生成樹,但這樣太複雜(而且我也不會)。

所以我們可以用分塊來處理,將n 分成n½塊,然後我們維護一下左端點所在塊的編號。以左端點的編號為第一關鍵字,右端點的編號為第二關鍵字排序;然後以排序後的順序依次求解(所以是離線的),在求解的過程中維護答案的值。這樣做的複雜度為 o(n∗n½

)。以下是證明過程:

#include#include

#include

#include

#include

#include

using

namespace

std;

#define ll long long

#define rep(i,a,b) for(register int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)

#define drep(i,a,b) for(register int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)

#define erep(i,a) for(register int i=start[(a)];i;i=e[i].next)inline

intread()

const

int maxn=5e4+20

;int

n,m;

intw[maxn];

void

init()

struct

query ;

struct

ans ;

query qu[maxn];

ans ans[maxn];

intk;

bool cmp(const query a,const

query b)

ll co[maxn]=;

ll a;

void work(int x,int

add)

void

doing()

sort(qu+1,qu+m+1

,cmp);

int l=1,r=0

; rep(i,

1,m)

;continue

; }

ans[qu[i].sx]=;

}rep(i,

1,m)

}int

main()

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