題解建築物

題目：

有r紅色立方體，g綠色立方體和b藍色立方體。每個立方體的邊長是1。現在有乙個n × n的木板，該板被劃分成1×1個單元。現在要把所有的r+g+b個立方體都放在木板上。立方體必須放置在單元格內，單元格可以豎立放置多個立方體。

放置在板上的立方體可以被視為「建築物」。乙個「建築物」被稱為「美麗建築物」，當且僅當：人站在南面，向北面望過去，觀察建築物時，所有可見立方體都是相同的顏色。

例如，在下圖中，左側建築物是「美麗建築物」，而右側建築物則不是。

問題是：給出r，g，b，n，有多少種不同的「美麗建築物」，答案模1000000007。

多組測試資料。

第一行，乙個整數group。表示有group組測試資料。1 <= group <= 8

每組測試資料格式：

一行，4個整數：r,g,b,n。 0<=r,g,b<26。 1 <= n <26。

題目大意：有紅、藍、綠三種顏色的正方體分別r,b,g個，放在乙個n × n的平面，高度不限，使得在乙個固定的方向看（在這裡我們簡單化為在前看），看見的所有格仔顏色相同！

題解：總體思路：

它有n行，我們可以化成小問題：第n行的放法由第n-1行推出：設第n-1行用了r1,b1,g1個紅、藍、綠方塊，第n行只能用r-r1,b-b1,g-g1個紅、藍、綠方塊，這時第n行的放法=第n-1行的放法*（r-r1,b-b1,g-g1個紅、藍、綠方塊在一列的放法）*這時需保證這一行的放法在前看的顏色與n-1行相同

這是近一步設陣列f[i][r][b][g]，i為第i行、r，b，g為到這一行（包括這一行）用的紅、藍、黃的塊數（r<=r,b<=b,g<=g），g[r][b][g]：用r，b，g塊紅、藍、黃正方體放在一列的放法。可轉化為：f[i][r][b][g]=f[i-1][r1][b1][g1]*g[r-r1][b-b1][g-g1](r1<=r,b1<=b,g1<=g)*為保證當前行的放法在前看的顏色與前面的行相同，陣列f為在前面看顏色為r的放法數，陣列g為在前面看顏色為r的放法數！！！

結果為f[n][r][b][g]+f[n][b][r][g]+f[n][g][r][b]（其中陣列後兩維可以調換）

接下來，就是求g陣列：

可以發現：求一列的方案數和之前的想法相似，設s[i][r][b][g] :為在某一列中到第i行,為到這一行（包括這一行）用的紅、藍、黃的塊數為r,b,g。

得s[i][r][b][g]=s[i-1][r-r1][b-b1][g-g1]+(b1+g1+r1)!/b1!/r1!/g1!(r1<=r,b1<=b,g1<=g)，g[r][b][g]=s[n][r][b][g]

但是，我們發現，為這時如果b1+g1+r1大於之前的最高高度時，沒法保證露在外面的部分顏色為r。所以我們要在s陣列的基礎上多一維分別表示：限定的最高的高度。

同時動態轉移方程便變得分多種情況考慮：分r+b+g<=h、r+b+g>h

優化：上面的解法時間複雜度為o（25^8），遠遠超過五秒時限。造成這樣的原因，主要是因為列舉r,b,g,r1,b1,g1，為什麼我們不妨先把它們看做乙個同乙個整體（即同乙個顏色），先求出s陣列，但在求g陣列時因為我們把其看成了一種顏色，所以用組合數求出其方案數。

這時候我們需要把之前陣列s[h][n][z]，h即最高高度，n即為到了第n行，z即為三總顏色塊數的總數。g[g][y]即放g個綠色的和y個紅或黃的在一列的放法。

但是在算某個方案的實際方案數時，需知道它的最高高度h，在總共n-h個，選r-h，r即可以放在前面的方塊的塊數。但因為我們在s陣列中不知道r，所以我們放在求g陣列時求，這是發現我們s陣列的漏洞：沒***在最高高度是多少？（即h是多少？）我們在原先的陣列中加多一維只有0,1來判斷在s[h][n][z]的是否到達最高位。這是求g陣列：g[g][y]+=s[h][n][g+y][1]*yhsj[g+y-h][g-h]*yhsj[y][r](yhsj[i][j]即楊輝三角，求組合數:i個中選j個的方案數) 但是r怎麼求？我們可以不考慮其，先把它等到f陣列時再考慮。

f陣列的定義改為：f[i][g][y]到第i行用分別g個綠、y個紅或藍的方案數，答案=f[n][g][r+b]*yhsj[r+b][r]，這時可以發現原來r可是不需要列舉去求，可以直接在輸出時*yhsj[r+b][r]。

此時，f[i][g][y]+=f[i-1][g-g1][y-y1]*f[g1][y1]。

在最後算的時候，千萬別只輸出f[n][g][r+b]*yhsj[r+b][r]（這僅僅只是綠色在前面的方案數），所以輸出f[n][b][r+g]*yhsj[r+g][r]+f[n][g][r+b]*yhsj[r+b][r]+f[n][r][g+b]*yhsj[g+b][g]!!!

最後附上**：

1 #include2 #include3
using
namespace
std;
4long
long group,rr,gg,bb,n,s[26][26][76][2],q[26][55],ans[26][26][55],mod=1000000007;5
long
long yhsj[76][76
],u;
6void
yhsj()718
}19}20
} 21
void find(long
long g,long
long r,long
long b,long
long
n)22
33 ans[0][0][0]=1;34
for (long
long i=1;i<=n;i++)
35for (long
long g=0;g<=g;g++)
36for (long
long y=0;y<=y;y++)
37for (long
long gg=0;gg<=g;gg++)
38for (long
long yy=0;yy<=y;yy++)
3942
43 u=(u+(ans[n][g][y]*yhsj[y][b]%mod))%mod;44}
45int
main()
4659
else
6064}65
}66 scanf("
%lld
",&group);
67for (long
long g=1;g<=group;g++)
6876
return0;
77 }

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