dp的一些優化

單調佇列優化

當dp[i][j]從一段區間轉移而來，且這段區間隨i,j的後移而後移/前推時，可以考慮用單調佇列掃一遍，可將o(n^2)優化至o(n)。

四邊形不等式優化

形如dp[i][j]=min的dp方程，//取max不一定滿足四邊形不等式

若對於i<=i'<=j<=j',有w(i',j)<=w(i,j')(即區間包含單調性)和w(i,j)+w(i',j')<=w(i',j)+w(i,j')(即四邊形不等式),則：

1.dp(i,j)+dp(i',j')<=dp(i',j)+dp(i,j')；

2.記g(i,j)為對dp(i,j)最優的k,則決策點g(i,j)滿足單調性,即g(i,j)<=g(i+1,j)<=g(i+1,j+1) => g(i-1,j)<=g(i,j)<=g(i,j+1)/g(i,j-1)<=g(i,j)<=g(i+1,j)；

因此列舉k時不必從1到i，可以直接由g(i-1,j)到g(i,j+1);對於固定的i-j，i,j=>g(i-1,j)~g(i,j+1)、i+1,j+1=>g(i,j+1)~g(i+1,j+2)、i+2,j+2=>g(i+1,j+2)~g(i+2,j+3)…這些區間互不重疊，因此σg(i,j+1)-g(i-1,j)<=n

時間複雜度由o(n^3)優化到o(n^2)。

一般而言，為了保證迴圈到dp(i,j)時g(i,j-1),g(i+1,j)已知，i應倒序列舉，j應正序列舉。至於內外層自變數，依題目要求保證順利轉移即可。

決策單調性優化

決策單調性指的是，dp[i]的最優轉移點k隨ik

'>i

'>增大保持單調不減。

二維情況可用四邊形不等式證明。

兩種實現方法：

1）分治

**難度較小，但得出dp值無先後順序（從中間開始二分，也就從中間開始算），一般適用於二維dp（dp[i][j]由dp[i-1][j]轉移而來，而i相同時同一維彼此線性無關）o(nlogn)

1
//l,r: 被決策點的下/上界2//
l,r: 決策點的下/上界 
3void work(int i,int l,int r,int l,intr)4
17// mid值已算出，從二分序列剔除
18 work(i,l,mid-1
,l,pos);
19 work(i,mid+1,r,pos,r);

2）單調棧/單調佇列

較為普適，但必須能在較短時間內（通過預處理）算出w(i,j)，比如說o(1)。總複雜度o(nlogn)。

//sta[0]記錄棧中元素，sta[1]記錄此元素作為決策點的最小被決策點
//找到以p作為決策點的最小被決策點（與棧頂的決策點相比即可）
int find(int
p) 
return
ll;}
void
work()
}}// 模板根據不同題目會有較大變動

p5504 [jsoi2011] 檸檬

比較罕見的決策點單調遞減的題，而且不是全序列單調性，只有大小相同的貝殼之間轉移才有單調性，所以二分找最優決策點時mid代表的不是序列編號，而是在同種大小貝殼中的編號。寫的時候犯了不少錯誤，比如x寫成y,忘記mid特殊性等。

在將i壓入棧前，要先檢查當前棧頂p代替i成為最優決策點的時間是否大於(棧頂-1)q代替棧頂成為最優的時間；若是，則要不斷將棧頂彈出。否則會存在時間t，q比p優，但p不比i優，此時存在q比i優的可能性，但由於先前沒有把p彈出，此時無法繞過p直接比較i和q，從而錯過最優決策點。這個思想很重要，大部分決策單調的題都要考慮類似情況。

斜率優化

未完

凸優化

未完

dp的一些優化

優化的一些例項

mysql的一些優化

Elasticsearch的一些優化

dp的一些優化

優化的一些例項

mysql的一些優化

Elasticsearch的一些優化

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