2023年浙江省隊選拔賽
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題目等級 : 大師 master
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有n位工作人員，同時有n項任務, 每人必須承擔一項任務，若給出某人不能從事的某些任務, 問要安排好工作,共有多少種方案?
輸入描述 input description
輸入檔案第1行為n(1<=n<=100), 以下n行，其中第i+1行表示第i個人不能從事的任務編號, 任務之間用空隔分開, 若第i個人沒有限制條件，則第i+1行為空行, 所有人員不能從事的任務之和不大於25。
輸出描述 output description
輸出檔案只有1行，為所有滿足條件的分配方案數。
樣例輸入 sample input
2 33 4
樣例輸出 sample output
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2023年
分析
容斥原理的應用.
先看看樣例:
四個人: a, b, c, d
a 不能選擇: 2
b 不能選擇: 2 3
c 不能選擇: 3 4
d 不能選擇: 4
總數是1~4全排列的個數 => 4! = 24
再考慮不能選的情況
那麼 =>
採用 總數-非法個數 的方法計算, 而後者需用容斥原理計算.
answer :
= 4! - (|非法a + 非法b + 非法c + 非法d|)
= 4! -
= 4! - 3! - 2 * 3! - 2 * 3! - 3! + 2! + 2 * 2! + 2! + 3 * 2! + 2 * 2! + 2! - 1 - 1 - 1 - 1 + 0
= 4容斥的實現
據說有三種實現容斥原理的方法 :
1. dfs
2. 佇列陣列
3. 二進位制
只學了dfs法.
核心是統計各個階乘的係數(coe), 記錄在陣列裡, 最後高精統計.
根據 answer 的計算式子, 可以發現 : |p1 並 … pm| m為奇數時, (n-m)! 的係數是負的. 容斥原理裡這裡是正的, 但別忘這裡前頭還有負號.
感覺這個dfs怪怪的… 先遞迴到底層, 又邊回溯邊更改.
變數表.
main() :
fac: 階乘
cnt: 限制關係的個數
x: 人物
y: 任務
x <==> y // 一一對應
dfs() :
// 時間複雜度: o(2^15 = 32768)
coe 統計各個階乘被計算了多少次
cur: 當前不匹配關係的編號
visx: 此人以考慮過
visy: 此任務已有人做
num: 當前正在統計 n-num 的階乘的出現次數
|a1並a2並…並anum|
num 為偶數 => coe[n-num]++
num 為奇數 => coe[n-num]–-
來自：ac**：
#include #include#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=100+10
;struct
bigint
while(n>0&&a[n-1]==0) n--;
return *this
; }
bigint
operator -= (const bigint&x)
a[i]-=x.a[i];
}while(n>0&&a[n-1]==0) n--;
return *this
; }
bigint
operator * (const
int&x)
while(ans.n>0&&ans.a[ans.n-1]==0) ans.n--;
return
ans;
}void
print()
};int
n,cnt,x[maxn],y[maxn],coe[maxn];
bool
visx[maxn],visy[maxn];
bigint ans,fac[maxn];
//當前正在考慮第 cur 對不匹配關係
//正在計算 |a1 並 a2 並 ... 並 anum|
void dfs(int cur,int
num)
dfs(cur+1
,num);
if(!visx[x[cur]]&&!visy[y[cur]])
}int
main()};
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i;
string
tmp;
getline(cin,tmp);
for(int i=0,j;i)
}dfs(
1,0);
//統計
for(int i=0;i<=n;i++) if(coe[i]>0) ans+=fac[i]*coe[i];
for(int i=0;i<=n;i++) if(coe[i]<0) ans-=fac[i]*(-coe[i]);
ans.print();
return0;
}
CODEVS 1301 任務分配
描述 有n位工作人員，同時有n項任務,每人必須承擔一項任務，若給出某人不能從事的某些任務,問要安排好工作,共有多少種方案?分析 容斥原理的應用.先看看樣例 四個人 a,b,c,d a 不能選擇 2 b 不能選擇 2 3 c 不能選擇 3 4 d 不能選擇 4 總數是1 4全排列的個數 4 24 再考...
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