區間歷史最值筆記 線段樹

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要你維護對序列上的操作：

1、區間加

2、區間賦值

3、區間最大值

4、區間歷史最值

注意到乙個線段樹節點，如果進行了modify操作，那麼接下來的加法都可以認為是modify。

設 \(\text\) 標記時節點實際要加的值，\(\text\) 表示覆蓋。

考慮記錄 \(\text\) 標記為所有祖先的 \(\text\) 標記，歷史上能達到的最大值。\(\text\) 同理。

下放標記時注意到子節點上的標記發生時間在該點之前，依此時間順序進行合併如下：

當下放加法標記，一方面由於 \(\text\) 是上方加法操作中最大增加的值，用它結合實際值來更新歷史最值。

若子節點無 \(\text\) 標記那麼標記向 \(\text\) 上打，否則向 \(\text\) 上打。

並且要結合該子節點當前的操作值，更新對應操作的歷史最值。

當下放覆蓋標記，先用 \(\text\) （歷史最大覆蓋值）更新子節點的歷史最值和 \(\text\)。

然後用實際覆蓋值修改實際最大值和實際覆蓋值。

下放標記要注意順序，加法在先，賦值在後。由於該寫法下放標記的運算元量很小，可能存在速度優勢。

下面是這個題的**，它在2023年1月19日是洛谷的rank1.

#include#includeusing namespace std;

const int n = 100005;
const int inf = 1e9;
struct io_tp
inline char readc()
}io;
inline void ckmax(int&x,const int y)
struct segtree
}t[n << 2];
#define lc (o << 1)
#define rc (o << 1 | 1)
void pushup(int o) 
void dadd(int o, int x, int y) 
void dmod(int o, int x, int y) 
void pushdown(int o)
if(t[o].mod != -inf)
}void build(int o, int l, int r)
int mid = (l + r) >> 1;
build(lc, l, mid); build(rc, mid + 1, r);
pushup(o); } 
void update(int o, int l, int r, int pl, int pr, int x)
pushdown(o);
int mid = (l + r) >> 1;
update(lc, l, mid, pl, pr, x);
update(rc, mid + 1, r, pl, pr, x);
pushup(o); } 
void modify(int o, int l, int r, int pl, int pr, int x)
pushdown(o);
int mid = (l + r) >> 1;
modify(lc, l, mid, pl, pr, x);
modify(rc, mid + 1, r, pl, pr, x);
pushup(o); } 
int query(int o, int l, int r, int pl, int pr) 
int query(int o, int l, int r, int pl, int pr)
}z[1];
int main()
return 0;
}

設分段函式 \(f(x)=max(x+a,b)\)，則區間修改操作均可以寫成對乙個區間作用上乙個函式。

並且 \(h(x)=max(f(x),g(x))\) 也依然是這樣的函式。

那麼我們可以維護區間的分段函式 \(f(x)\) 和當前所有函式「最高輪廓」 \(g(x)\)。

考慮下放標記，\(f(x)\) 直接合併即可，考慮 \(g(x)\)；

相當於一堆函式作用到乙個函式 \(f'\) 上，最高的輪廓應當是這堆函式的 \(g\) 作用於 \(f\)，然後再把這個和之前的 \(g'\) 取較高的。

若要維護區間歷史最值，下放標記時用 \(g(\text)\) 更新 \(\text\)；再令 \(\text=f(\text)\)。

要注意你這個操作是對於這個區間整體而言的，就是說該區間的歷史最值肯定要找最靠右的位置，所以要用當時的 \(\text\) 更新。

下面是清華集訓那題的**，只有單點查詢（區間歷史最值只要在 pushdown 裡加兩句話）

#include#includeusing namespace std;

typedef long long ll;
const int n = 500004;
const ll inf = 1e16;
inline void ckmax(ll&x, ll y)
struct io_tp
inline char readc()
}io;
int n, m, a[n];
struct node 
node operator + (const node& t) 
ll operator () (ll x) 
void operator |= (const node& t)
} null;
struct segtree
void pushdown(int o) 
void modify(int o, int l, int r, int pl, int pr, const node& z)
pushdown(o);
int mid = (l + r) >> 1;
modify(lc, l, mid, pl, pr, z);
modify(rc, mid + 1, r, pl, pr, z); } 
ll query(int o, int l, int r, int p) 
ll query(int o, int l, int r, int p)
}z[1];
int main()
else
}return 0;
}

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