線性基學習筆記

我現在大概理解線性基了。

假設你有乙個集合 \(s\)，那你可以把它壓成乙個線性基 \(p\)，然後使得兩個集合能異或出來的玩意完全一致。

我們是要按位操作。

假設你 \(s = \\)，那你發現你的 \(p = \\) 是可以的。

然後 \(\\) 也是可以的。你要明白線性基這玩意不唯一，而且他是不同順序可能會有多種不同的線性基。

說幾個有用的性質先。

我們想象一下線性基的過程。線性基一共有 \(\log\) 位對不對。

我們考慮如果 \(x\) 的最高位為 \(2^i\) ，如果 \(p_i\) 是 0，也就是空的基的話。

我們就直接把 \(p_i = x\)，這樣丟進去就好了/cy。

那麼如果 \(p_i != 0\) 怎麼辦，我們考慮到，如果 \(p_i\) 是插進去的話，那麼他也是原來的元素之一，所以和他異或一下還能是原集合能異或出來的數。

但是如果他是間接插進去的怎麼辦，它異或過其他數字！不用慌，轉化一下，由於那個位置是若干個原集合 \(s\) 的元素異或得來，當你插入這個元素，和原集合的元素異或的時候，它還是原集合能異或出來的數字對不對。

所以你整個集合都是原集合能異或出來的數字構成的，在特殊情況下，它其實就是原集合的數構成的，當你順序插入的時候。

所以先異或上，然後你的最高位就沒掉了，接著向下迴圈，直到能插進去位置，如果他插不進去？為什麼呢，因為它會變成 \(0\)。

因為你每一位都是可以控制的，控制的意思大概是指，你的 \(i\) 位如果有元素，那麼你可以選擇這一位 \(2^i\) 是選還是不選，記住，此時你只關心這個最高位。也就是從高位貪心。

如何證明線性基的元素都能異或出來原集合的元素呢？

我們再考慮，如果你丟進去 \(\\)，你發現你只能異或出來 \(\) 對吧。

你發現如果你丟到線性基里，你的線性基元素也是 \(\\)，還是只能構造出來這麼多。

但是如果你原集合是 \(\\) 呢？你考慮到，你丟進去6，插入成功了，線性基 \(\\)

然後再插入10，顯然能丟進去對吧，線性基 \(\\)，然後我們發現原集合能構造出來是 \(\\)，而你線性基構造出來的還是 \(\\)。

假如，我們要求乙個數字，能不能被乙個這個集合表示，怎麼辦，我們就假裝插入（霧）

按照插入的姿勢，直接丟進去，看有沒有乙個位置為空，如果有乙個位置為空的，直接return 1就好了，否則就return 0

我們發現 \(p_i\) 的最高位是 \(2^i\) 對吧，且其他元素的最高位都不和這個重複。

我們倒著取（這裡指倒著迴圈），如果 \(p_i\) 這一位存在，我們自然是不取這乙個基的，否則就取過來，因為你乙個 \(2^i \geq p_\)，易證，不證明了。

然後你可以有效的控制 \(2^i\) 這一位到底有沒有，因為你 \(p_i\) 一定存在 \(i\) 這一位，但是你 \(p_j [j \geq i]\) 也可能存在 \(i\) 這一位所以不能直接取，要取乙個 \(max(ans , ans \oplus p_i)\)。

如果我們想求 \(k\) 大 \(k\) 小的話，那麼我們要去關心 \(i\) 必須不能被比他大的元素干擾，所以我們要消除這個貢獻也就是 \(p_i \& (2^j) [j < i]\) 的時候 \(p_i \oplus p_j\)

loj 有個題可以去試試

**長這個樣子

p3812 【模板】線性基

// by isaunoya
#include using namespace std;
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); ++i)
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); --i)
#define int long long
const int _ = 1 << 21;
struct i 
inline i& operator>>(int& x) 
inline i& operator>>(double& x) 
x = sign ? x : -x;
return *this;
} inline i& operator>>(char& x) 
inline i& operator>>(string& s) 
} in;
struct o 
inline o& operator<<(int x) 
inline o& operator<<(char x) 
inline o& operator<<(string s) 
} out;
#define pb emplace_back
#define fir first
#define sec second
int n, a[64], p[64];
signed main() 
}} int ans = 0;
for (int i = 50; ~i; --i) ans = max(ans, ans ^ p[i]);
out << ans << '\n';
return out.flush(), 0;
}

p4151 [wc2011]最大xor和路徑

找個出所有簡單環，這樣就可以和原有路徑抵消掉

最後求異或，沒了

// by isaunoya
#include using namespace std;
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i <= (y); ++i)
#define rep(i, x, y) for (register int i = (x); i >= (y); --i)
#define int long long
const int _ = 1 << 21;
struct i 
inline i& operator>>(int& x) 
inline i& operator>>(double& x) 
x = sign ? x : -x;
return *this;
} inline i& operator>>(char& x) 
inline i& operator>>(string& s) 
} in;
struct o 
inline o& operator<<(int x) 
inline o& operator<<(char x) 
inline o& operator<<(string s) 
} out;
#define pb emplace_back
#define fir first
#define sec second
template inline void cmax(t& x, const t& y) 
template inline void cmin(t& x, const t& y) 
int n, m;
const int n = 5e4 + 10;
const int m = 1e5 + 10;
int cnt = 0, head[n];
struct edge e[m << 1];
int d[n], p[65];
bool vis[n];
void add(int u, int v, int w) , head[u] = cnt;
e[++cnt] = , head[v] = cnt;
}void insert(int val) 
}void dfs(int u, int cur) 
}int query(int val) 
signed main() 
dfs(1, 0);
out << query(d[n]) << '\n';
return out.flush(), 0;
}

留一些坑。

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