最短路再放送

#前言

當我做另一道題使用最短路演算法時，我習慣性地去$luogu$博找$dijksttra$的板子，這時候我覺得這種演算法應該記住，於是我又重溫了一遍最短路演算法，發現了很多困惑，尤其是關於$spfa$和$dijkstra$演算法的區別。因為我的$spfa$和$dijkstra$都使用了堆優化。

然後我困惑了很久，終於明白了，準備推樣例理解一下，又心血來潮重溫了一下$dijkstra$演算法為什麼不能處理負權邊，然後構造了乙個帶負權的有向圖，結果呢。

**我的$dijkstra$竟然跑出了正確的答案!**

我驚了，拿朋友的板子發現正確的$dijkstra$演算法是不能跑負權邊的，於是我再去看我的板子，懷疑我的$dijkstra$寫成了$spfa$，要是我發現了能處理負權邊的$dijkstra$演算法，我估計會被保送吧哈哈。於是改掉了我的板子，所幸在$noip$前發現，在此簡單總結一下最短路演算法。

#$floyed$

多源最短路演算法，運用了鬆弛的思想，有很濃重的$dp$氣息(~~因為它就是$dp$~~)，通過列舉中間點轉移。

複雜度$o(n^3)$，在解決最短路問題上基本沒有用處，如果解決多源問題完全可以跑$n$遍$dijkstra$，和矩陣乘法結合有一些用，具體我也忘了。

```memset(f,inf,sizeof(f));

for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=0;

for(int i=1;i<=n;++i)

for(int j=1;j<=n;++j)

for(int k=1;k<=n;++k)

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

```#$spfa$

$spfa$是個隨機資料下比較快的演算法，它的思想是每次從佇列中找到乙個點，鬆弛它所連的邊，然後出隊，注意這個點是可以再次被更新的，也就是可以再次入隊重新鬆弛，不斷逼近，直到最後求出最優解。所以卡$spfa$的辦法就是讓$spfa$跑到終點，然後再從起點更新，讓它不停地重複跑就可以了，具體方法是構造乙個網格圖，將橫向邊邊權設為很小，縱邊很大即可。

$spfa$最優複雜度為$o(ke)$，其中$k$是乙個常數，但是最壞情況可以達到$o(ve)$

眾所周知，現在很多最短路題目出題人都會卡$spfa$，用雙端佇列優化或者是堆優化本質都是不變的，都會被卡，所以還是用$dijkstra$吧。

**常規的$spfa$**

```#include#define n 10005

#define maxn 500005

#define inf 2147483647

using namespace std;

int dis[n],cnt,n,m,eu,ev,head[n],x,y,z,s;

bool vis[n];

struct edgee[maxn];

inline void add(int u,int v,int w)

void spfa(int s)

dis[s]=0;

queue q;

q.push(s);

vis[s]=false;

while(!q.empty())

while(ch>='0'&&ch<='9')

return x*f;

}int main()

spfa(s);

for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);

}```

**比較常用的雙端佇列優化($slf$優化)，大概思想是隊列為空或者當前最短距離比隊首小時放到隊首，否則放到隊尾，最好再熟悉一下$stl$**

```#include#define n 100005

#define maxn 200005

#define inf 2147483647

using namespace std;

int dis[n],cnt,n,m,eu,ev,head[n],x,y,z,s;

bool vis[n];

struct edgee[maxn];

inline void add(int u,int v,int w)

void spfa(int s)

dis[s]=0;

deque q;

q.push_back(s);

vis[s]=1;

while(!q.empty())

if(q.empty()||dis[ev]'9')

while(ch>='0'&&ch<='9')

return x*f;

}int main()

spfa(s);

for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);

}```

**$spfa$堆優化：算是比較快的，但是不常用，這個可以過掉洛谷的單源最短路（標準版），而且比$dijkstra$要快**

```#include#define n 200000 + 10

#define maxn 200000 + 10

#define inf 2147483647

using namespace std;

int dis[n],cnt,n,m,eu,ev,head[n],x,y,z,s;

bool vis[n];

struct edgee[maxn];

inline void add(int u,int v,int w)

struct cmp

};void spfa(int s)

e[maxn<<2];

inline void add(int u,int v,int w)

struct node);

//vis[s]=1;

while(!q.empty()));}

}}

}}int main()

dijkstra();

for(re int i=1;i<=n;++i)

printf("%d ",dis[i]);

return 0;

}結構體重載就相當於$cmp$函式進行排序

bool operator <(const node&rhs) const{

return rhs.d標準格式如上，上句話的意思是：乙個結構體比另乙個結構體小當且僅當這個結構體的$d$大於另乙個結構體的$d$，$rhs$相當於別的結構體

又因為堆預設大根堆，從大到小排序，那麼反過來$d$就從小到大排序了。

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