《關於我上冬令營網課時，聽說普及組考過斜率優化dp這件事》擺渡車往返一次要 \(m\) 分鐘，但擺渡車可以在起點等人，故可以將往返一次的時間 \(t \in [m,\infty )\)。(但是個人都不會讓他等於正無窮吧?)
求這 \(n\) 個人等待時間之和最小值。
首先，觀察資料範圍
小資料就不說了吧
顯然,可以根據時間設定狀態。
設 \(f_\) 表示前 \(i\) 個時間單位的最小花費。
題上說了，擺渡車容量可以視為無限大，那麼我們可以知道，擺渡車是印度產的，在時間 \(i\) 出發的車可以將在 \(i\) 及之前到站所有人都接走，花費為\(\sum (i-t_) \ \ \ (t_\le i)\)。
如果在 \(i\)之前的某時刻 \(j\)，擺渡車接過一次人呢?(根據題意 \(j\) 應當滿足 \(0 \le j \le i-m\) )。
那麼就有 \(f_=min(f_,f_+\sum (i-t_))\ \ (j < t_\le i)\) 。
這就是狀態轉移方程，可以發現遍歷一段時間是 \(o(t)\) 的，列舉斷點 \(j\) 也是 \(o(t)\) 的,而計算 \(\sum (i-t_)\) 是 \(o(n)\) 的。
這個dp時間複雜度為 \(o(nt^)\)。(恭喜你拿到我沒截上屏的30分)
優化計算
\(\sum (i-t_)\) 是顯然能用字首和搞一下的:
設 \(cnt_\) 表示時間 \(i\) 及之前有多少人在到達。
\(sum_\) 表示若在 \(i\) 之前來的人一直在等，那麼這些人一共等了多久，\(sum_\) 可以通過 \(cnt_\) 累加得到。
n=qr();//讀入和處理cnt和sum部分
m=qr();
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int i=1;i那麼怎麼通過 \(cnt\) 和 \(sum\) 計算出 \(\sum (i-t_)\ \ \ (j < t_\le i)\) 呢?
請看圖。
用水平線長短及端點來表示人的等待情況，我們要求的是藍色線的總長度。
根據我畫的圈圈，\(1=sum_\) , \(2=sum_\) , \(3=cnt_*(i-j)\)。
那麼就可以輕而易舉地得到 \(\sum (i-t_) = sum_-sum_ - cnt_*(i-j)\ \ \ (j < t_\le i)\)。
狀態轉移方程就能轉化為
\(f_=min(f_,f_+sum_-sum_ - cnt_*(i-j))\ \ (j\le i-m)\) 。
於是複雜度愉快地變成了 \(o(t^)\) 。(現在有50pts了!)。
code
#include#define n 1100006
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll f[n];
int t,cnt[n],sum[n],ed;
inline int qr()
while(a<='9'&&a>='0')
return x*w;
}int main()
for(register int i=1;i規避無用轉移
顯然，每次擺渡車的往返加等待時間不會超過 \(2m\) ,因為該時間超過 \(2m\) 時,在\(i-(m,2m)\)可以來一輛車，答案必定不會更劣。
所以，列舉 \(j\) 時只用列舉 \([max(0,i-2m),i-m]\)就可以了,複雜度變成了 \(o(tm)\)。
把轉移改一下就有70pts了！(開o2就過了)。
code
for(register int i=1;i尖端科技——斜率優化(霧)
重新看一下式子:
\(f_=min(f_,f_+sum_-sum_ - cnt_*(i-j))\)
把min去掉，然後移下項，可以得到:
\(f_+cnt_*j-sum_=cnt_*i+f_-sum_\)
使 \(y=f_+cnt_*j-sum_\) , \(k=i\) , \(x=cnt_\) , \(b=f_-sum_\)
於是轉移方程轉化愉快地為 \(y=kx+b\) 的點斜式形式。
這裡 \(x\) 和 \(k\) 具有點調性，可以用優先佇列維護下凸包。
當遍歷到時間 \(i\) 時將 \(i-m\) 入隊，如果佇列非空進行轉移，如果佇列是空的話，直接當做之前沒有發過車對 \(f_\) 賦值就行了。
code
#include#define n 9100006
#define ll long long
#define lb long double
using namespace std;
int n,m;
ll f[n],t,cnt[n],sum[n],q[n],ed;
inline int qr()
while(a<='9'&&a>='0')
return x*w;
}inline lb k(ll x,ll y)//計算兩點間斜率
int main()
for(register int i=1;i=m)
while(l
l++;
f[i]=sum[i];//前面沒有發車
if(l<=r)
f[i]=min(f[i],f[q[l]]+sum[i]-sum[q[l]]-cnt[q[l]]*(i-q[l]));
} ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(register int i=ed;i
ans=min(ans,f[i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
Noip2018普及 擺渡車
生涯回憶錄徹底摸了。反正也沒啥人看 過幾天要給普及組神犇講課就尋思做一點普及題，然後差點被錘爆，題在luogu上找的不貼了 首先考慮如果前後兩個人等待時間相差超過 m 往返時間 那一定不必等，因為中間完全可以送一趟。所以我們發現這個 4e6 的 t i 的資料範圍一定沒用.而且時間肯定要排序一下啦。...
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