二項式反演似乎是個很有趣的東西~
二項式反演似乎有很多條。
第一條（最基本，最好記的一條）：若序列 $f$ 和 $g$ 滿足：
$$g_n=\sum\limits^n_(-1)^if_i$$
那麼$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^ig_i$$
反過來也成立。
證明：（公式恐懼症者可以跳過）
第乙個式子代入第二個式子：
$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^i\sum\limits^i_(-1)^jf_j$$
全部放到後面：
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^f_j$$
拆開：$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^\frac\fracf_j$$
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^\fracf_j$$
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^\frac\fracf_j$$
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^\frac\fracf_j$$
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^f_j$$
改變列舉順序：
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^n_(-1)^f_j$$
跟 $i$ 無關的提出去：
$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^jf_j\sum\limits^n_(-1)^i$$
列舉 $i$ 改為列舉 $i+j$：
$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^jf_j\sum\limits^_(-1)^$$
$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^f_j\sum\limits^_(-1)^i$$
前面，$(-1)^$ 一定是 $1$，可以省略；後面，可以添上 $1^$，式子不變。
$$f_n=\sum\limits^n_f_j\sum\limits^_(-1)^i1^$$
後面用二項式定理：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j(-1+1)^$$
根據 $0^n=[n=0]$：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j[n=j]$$
有用的只有 $n=j$：
$$f_n=f_n$$
得證。（似乎網上沒有這個式子的證明，我仿照了別的證明才死磕出來的q^q）
然而這個式子不是很常用。
第二條（最常用的一條）：若序列 $f$ 和 $g$ 滿足：
$$g_n=\sum^n_f_i$$
那麼$$f_n=\sum^n_(-1)^g_i$$
反過來也成立。
證明：（公式恐懼症者可以跳過）
第乙個式子代入第二個式子：
$$f_n=\sum\limits^n_(-1)^\sum\limits^i_f_j$$
全部放到後面：
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^f_j$$
拆開，同上可得：
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^i_(-1)^f_j$$
改變列舉順序：
$$f_n=\sum\limits^n_\sum\limits^n_(-1)^f_j$$
跟 $i$ 無關的提出去：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j\sum\limits^n_(-1)^$$
列舉 $i$ 改為列舉 $n-i$：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j\sum\limits^_(-1)^i$$
後面，可以添上 $1^$，式子不變。
$$f_n=\sum\limits^n_f_j\sum\limits^_(-1)^i1^$$
後面用二項式定理：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j(-1+1)^$$
根據 $0^n=[n=0]$：
$$f_n=\sum\limits^n_f_j[n=j]$$
有用的只有 $n=j$：
$$f_n=f_n$$
得證。實際上上面這兩條和下面將提到的兩條證明過程都十分相似，我就不贅述了。
第三條（比較冷門的一條）：若序列 $f$ 和 $g$ 滿足：
$$g_k=\sum^n_(-1)^if_i$$
那麼$$f_k=\sum^n_(-1)^ig_i$$
反過來也成立。
第四條（比較常用的一條）：若序列 $f$ 和 $g$ 滿足：
$$g_k=\sum^n_f_i$$
那麼$$f_k=\sum^n_(-1)^g_i$$
反過來也成立。
二項式定理主要用來解決一些形如「恰好」的這類計數問題。通常恰好的方案數不好算，但是至多或者至少的方案比較好算，就可以用二項式反演。
那麼來幾道例題：
color：uvalive-7040（題解）
已經沒什麼好害怕的了：洛谷4859，bzoj3622（題解）
學習筆記 二項式反演
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