模運算性質 摘自百度百科

2022-05-18 11:42:13 字數 1291 閱讀 4428

定義如下運算:

取模運算:a % p(或a mod p),表示a除以p的餘數。

模p加法:(a + b) % p ,其結果是a+b算術和除以p的餘數,也就是說,(a+b) = kp +r,則(a + b) % p = r。

模p減法:(a-b) % p ,其結果是a-b算術差除以p的餘數。

模p乘法:(a * b) % p,其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。

說明:1.同余式:正整數a,b對p取模,它們的餘數相同,記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。

(1)若p|(a-b),則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)

(2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

(3)對稱性:a≡b (% p)等價於b≡a (% p)

(4)傳遞性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,則a≡c (% p)

模運算與基本四則運算有些相似,但是除法例外。其規則如下:

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p (4)

結合律:

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

交換律:

(a + b) % p = (b+a) % p (7)

(a * b) % p = (b * a) % p (8)

分配律:

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

重要定理:

若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)

若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)

若a≡b (% p),c≡d (% p),則 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),

(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)

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