知識點字尾自動機

字尾自動機：

簡介：定義：

1.字尾自動機的結構類似於ac自動機，每個點表示乙個endpos等價類（子串結束位置的集合，以下簡稱為狀態），邊同ac自動機中的邊。即字尾自動機上從根到乙個點有若干條路徑，這些路徑構成的子串在原串中的endpos集合都相同。

2.parent樹是一棵建立在字尾自動機節點上的樹，建立的方法是類似於線段樹的分割（見下文）。它滿足任意點u代表的任意乙個字串是u子樹中任意乙個字串的字尾。

3.一些需要維護的資訊：

struct
node;

性質：在提到性質之前我們先考慮一下這個endpos等價類的含義。

以$aababa$這個串為例，它有6個可能的endpos，我們現在按長度依次考慮以i為endpos的每個子串$(s[1,i],s[2,i],\cdots ,s[i,i])$所屬的endpos等價類。

初始都是空串，那麼$endpos(空串)=\$。

然後考慮長度為1的子串，位置1,2,4,6是'a'，位置3,5是'b'。那麼$endpos('a')=\$，$endpos('b')=\$。

然後考慮長度為2的子串，位置2是'aa'，位置3,5是'ab'，位置4,6是'ba'。那麼$endpos('aa')=\$，$endpos('ab')=\$，$endpos('ba')=\$。

自己模擬一下這個過程，不難發現三點性質：

1.隨著長度的增加，endpos等價類從集合$\$逐漸劃分成若干個小集合。但不是完全劃分，中間會因為某個字首的長度不夠而損失掉這個字首。

2.對於任意兩個子串，它們的endpos等價類要麼互為子集，要麼不相交。顯然前者是互為字尾的情況，後者是不互為字尾的情況。

3.同乙個endpos等價類包含的子串實際上是某個極長子串的所有字尾。因為我們是在逐漸往每個endpos前面塞字元，那麼某個等價類裡的所有endpos前面塞完乙個字元後，它們代表的字串可能從相同變得不同。此時該等價類被劃分，它的極長子串就是塞之前的子串。

構造：使用增量構造法，就是假設前n-1個字元已經構造好了，考慮插入第n個字元c會怎麼樣，也就是如何處理插入後新產生的子串（新串的n個字尾）。

先建乙個代表$\$等價類的點np，然後從上一次插入的點last（即代表$\$等價類，$s[1,n-1]$的點）開始跳fa，每跳到乙個點p就把它往np連一條字元邊c。直到跳到0（不是根）或者當前點p已經有一條字元c出邊。

如果跳到0了說明原串裡根本就沒出現c這個字元，於是直接記$x[np].fa=rt$即可。

否則，設$q=x[p].to[c]$，分q是或不是新串的字尾兩種情況討論。

當且僅當$x[p].dis+1=x[q].dis$時，q是新串的字尾（q裡的最長串就是p裡的最長串+c）。此時新串長度$>x[p].dis+1$的字尾都連過邊c了，而長度$\leq x[p].dis+1$的字尾已經在原串出現過了（就是q代表的所有子串），所以整個系統合法，只需要令$x[np].fa=q$。

否則，q不是新串的字尾（q裡的最長串的字尾是p裡的最長串+c）。此時我們把q拆成兩個點nq和q，前者是新串的字尾（即長度$\leq x[p].dis+1$的部分），後者不是。拆完之後把p所有的祖先原來連到q的c邊都改到nq（因為p的祖先+c是新串的字尾），然後記$x[nq].fa=x[q].fa,x[q].fa=x[np].fa=nq$即可。此時整個系統合法。

關於為什麼$x[p].dis+1\neq x[q].dis$時q不是新串的字尾：因為如果是，那麼q中最長串去掉c後必然是乙個長度$>x[p].dis$的原串字尾，且它代表的節點有c出邊。那麼這個節點應該先於p被遍歷到並且停下，而這並沒有發生，所以q一定不是新串的字尾。

**：

#include#define maxn 1000005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define debug(x) cerr<
namespace
std;
int hd[maxn<<1],nxt[maxn<<1],to[maxn<<1
],ans,cnt;
char str[maxn<<1
];inline 
intread()
inline 
void addedge(int u,int v)
struct
samx[maxn<<1
]; 
int tot=1,lst=1,rt=1
; inline 
void extend(int
pos)}}
inline 
void dfs(int
u)}at;
intmain()

字尾自動機

廣義字尾自動機：

沒啥區別，每次插入乙個串的時候直接把last設為1就行了，相當於從頭開始插入。

#include#define maxn 1000005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define rint register int
#define debug(x) cerr<
namespace
std;
char
str[maxn];
inline 
intread()
struct
ramauto}}
}inline ll dfs(
intu)
}ram;
intmain()

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