2019牛客暑期多校訓練營（第九場）

給定$p=1000000007$

有兩個數x,y,其中$x\leqslant y \leqslant p$

$x + y \equiv b(mod  \ p)$

$x \times y \equiv c (mod \ p)$

求 x,y的值

二次剩餘

[1]二次剩餘參考資料1

[2]二次剩餘參考資料2

知道 $x+y$ 和 $ x \times y $

那計算x,y 自然是$  (  x-y )^} = (  x+y )^} - 4xy = b^-4c $ 

設$b^-4c = d$,利用二次剩餘求解

\begin

1,&d^}\text\\

-1,&d^}\text\\

0,&d^}\equiv0\pmod p

\end

有解時：

①當 $d=0$ 時，兩個解相等，都為$\frac$

②當d是 $mod \ p$ 的平方剩餘時有$d^} \equiv 1 (mod \ p)$ 

設$p-1=2^\times s,(2∤s)$,顯然$t=1$

所以$ (  x-y )=d^}$是$(  x-y )$的乙個解

所以$x-y=d^}= d^}$

由於$p=1000000007$,所以$ (p+1) \ mod \ 4 =0$可行

因為$x-y= d^}$，所以$(x - y)\mod \ p \equiv d^} \ mod \ p$ 設為 a

然後再利用 $x + y \equiv b(mod  \ p)$

$\left \^ \right.$

得到x,y

注意 此時是在模p的情況下，

在除以2的時候記得除法取模

$\frac \ mod \ p = mn^ \ mod \ p$

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll long long
4#define p 1000000007
5ll qpow(ll a,ll b)615
return
res;16}
17int
main()
1842
else
43 cout<
<
'<
<
45}46 }

view code

給出乙個長度為n的集合a,

從中選任意個數，使得這些數的和為s

由於長度最大為36,一共有$2^$種情況

挨個列舉肯定會tle

利用折半列舉，兩個$2^$

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll long long
4 mapint>mp;
5 ll a[40];6
intmain()723
24for(int i=0;i
<
2541
}42 }

view code

一開始有n個人不認識。有m個回合，他們中的兩個輪流交朋友。

朋友關係是相互的、可傳遞的。

如果a是b的朋友，那麼b也是a的朋友。

例如，如果a是b的朋友，b是c的朋友，那麼a和c是朋友。

在開始和每個回合之後，請計算從中選擇四個人的方法的數量，這樣這四個人中的任何兩個都不是朋友。

假設現在有5個朋友圈a,b,c,d,e

5個朋友圈裡的人數分別為a,b,c,d,e

那麼現在的方式有$(abcd+abce+abde+acbd+acde)$種

此時令a b做朋友，也就是a b朋友圈合併

那現在的方式有$((a+b)cde)$,也就是$(acde+bcde)$種

減少了$(abcd+abce+abde)$,即$ab(cd+ce+de)$種

因為$cd+ce+de=((c+d+e)^-(c^+d^+e^))/2$

用乙個$n$代表總人數,$s$記錄所有集合的平和方

可以把$(c+d+e)$看做$(n-a-b)$，把$(c^+d^+e^)$看做$(s-a^+b^)$

我們可以利用並查集合並、查詢集合，

由於每次時兩個集合合併，a,b不合併的平方和為$a^+b^$

合併後的平方和為$(a+b)^=a^+b^+2ab$

所以每次合併後$s+=2ab$

注意 當所有集合都不合併時答案$\textrm_^$可能會long long溢位，

所以使用unsigned long long

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll unsigned long long
4int
const maxn=2e5+5;5
intpre[maxn];
6ll num[maxn];78
int find(intx)9
21return
r;22}23
24void mix(int x,int
y)2533}
3435
intmain()
3644
45 ll ans=n*(n-1)/2*(n-2)/3*(n-3)/4
;46 ll s=n;
47 printf("
%lld\n
",ans);
48int
a,b;
49for(int i=1;i<=m;i++)
5058
if(a==b)
5963 ans-=num[a]*num[b]*((n-num[a]-num[b])*(n-num[a]-num[b])-(s-num[a]*num[a]-num[b]*num[b]))/2
;64 s+=2*num[a]*num[b];
65 printf("
%lld\n
",ans);
66mix(a,b);67}
68return0;
69 }

view code

2019牛客暑期多校訓練營（第九場）

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