概率dp 高斯消元 bzoj3270 博物館

一類成環概率dp的操作模式

有一天petya和他的朋友vasya在進行他們眾多旅行中的一次旅行，他們決定去參觀一座城堡博物館。這座博物館有著特別的樣式。它包含由m條走廊連線的n間房間，並且滿足可以從任何一間房間到任何一間別的房間。

兩個人在博物館裡逛了一會兒後兩人決定分頭行動，去看各自感興趣的藝術品。他們約定在下午六點到一間房間會合。然而他們忘記了一件重要的事：他們並沒有選好在哪兒碰面。等時間到六點，他們開始在博物館裡到處亂跑來找到對方（他們沒法給對方打**因為**漫遊費是很貴的）

不過，儘管他們到處亂跑，但他們還沒有看完足夠的藝術品，因此他們每個人採取如下的行動方法：每一分鐘做決定往**走，有pi 的概率在這分鐘內不去其他地方（即呆在房間不動），有1-pi 的概率他會在相鄰的房間中等可能的選擇一間並沿著走廊過去。這裡的i指的是當期所在房間的序號。在古代建造是一件花費非常大的事，因此每條走廊會連線兩個不同的房間，並且任意兩個房間至多被一條走廊連線。

兩個男孩同時行動。由於走廊很暗，兩人不可能在走廊碰面，不過他們可以從走廊的兩個方向通行。（此外，兩個男孩可以同時地穿過同一條走廊卻不會相遇）兩個男孩按照上述方法行動直到他們碰面為止。更進一步地說，當兩個人在某個時刻選擇前往同一間房間，那麼他們就會在那個房間相遇。

兩個男孩現在分別處在a，b兩個房間，求兩人在每間房間相遇的概率。

第一行包含四個整數，n表示房間的個數;m表示走廊的數目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示兩個男孩的初始位置。

之後m行每行包含兩個整數，表示走廊所連線的兩個房間。

之後n行每行乙個至多精確到小數點後四位的實數表示待在每間房間的概率。

題目保證每個房間都可以由其他任何房間通過走廊走到。

輸出一行包含n個由空格分隔的數字，注意最後乙個數字後也有空格，第i個數字代表兩個人在第i間房間碰面的概率（輸出保留6位小數）

注意最後乙個數字後面也有乙個空格

2 1 1 2

1 20.5

0.50.500000 0.500000

對於100%的資料有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

記$f[i][j]$為兩人分別在$i$和$j$的概率，$u,v$為分別與$i,j$相連的點，那麼有$$f[i][j]= \begin \sum \frac& \text\\\sum \frac& \text\\\sum \frac& \text\\\sum \frac& \text\end$$

由於這裡dp的關係成環，不能夠直接轉移，所以要使用高斯消元。由此共有$n^2$個狀態，即$n^2$個未知量。故用$id[i][j]$來表示$f[i][j]$，就可方便地把這些未知量的關係用矩陣表示出來。

需要注意的是，初始$f[s][t]$的概率為1，不過後面又會有經過它的概率，所以在計算時需要考慮其初始概率。這裡算是乙個概率dp的奇怪的地方：最終$f[s][t]>1$。

再者是處理的乙個小技巧：添一條自邊便於處理。

1 #include2
const
int maxn = 503;3
4int
n,m,tot,s,t,deg[maxn],id[maxn][maxn];
5double
out[maxn],p[maxn],ans[maxn],mp[maxn][maxn];
6int
g[maxn][maxn];78
void gauss(intn)9
27}28 ans[n] = mp[n][n+1
];29
for (int i=n-1; i; i--)
3034}35
intmain()
3644
for (int i=1; i<=n; i++)
4550
for (int i=1, t=0; i<=n; i++)
51for (int j=1; j<=n; j++)
52 id[i][j] = ++t;
53 mp[id[s][t]][tot+1] = -1;54
for (int i=1; i<=n; i++)
55for (int j=1; j<=n; j++)
5668}69
gauss(tot);
70for (int i=1; i<=n; i++) printf("
%.6lf 
",ans[id[i][i]]);
71return0;
72 }

看到有網上有些部落格說，高斯消元這裡$mp[id[i][j]][id[u][v]]$是指$id[i][j]$狀態轉移到$id[u][v]$狀態的概率，這個說法其實是不對的。

$id[i][j]$實際上不過是和常規高斯消元一樣，代表處理第幾條方程；至於$id[u][v]$則表示當前這條方程中的$f[u][v]$；所以$mp[id[i][j]][id[u][v]]$是指第$id[i][j]$條方程中，第$id[u][v]$個未知量的係數。

end

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bzoj3143 遊走概率高斯消元

HDU 4870（概率DP，高斯消元）

HDU 2262（高斯消元，概率DP）

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