記貨幣種類為\(n\)，面額陣列為\(a[1...n]\)的貨幣系統為\((n,a)\)。貨幣系統\((n,a)\)與\((m,b)\)等價，當且僅當對於\(\forall x\in \mathbf n\)，\(x\)要麼均可以被兩個貨幣系統表示，或者不能被任何乙個表示。
給定乙個貨幣系統\((n,a)\)，求與其等價的貨幣系統\((m,b)\)，並使\(m\)盡可能小。
我們把貨幣系統\((n,a)\)看做集合\(a\)，貨幣系統\((m,b)\)看做集合\(b\)，我們猜測\(b⊆ a\)，接下來進行證明。
一些奇奇怪怪的證明
證明1：\(a\)集合內不能被其他數表示的數必然存在於\(b\)集合內。
證明：我們設\(x\in a\)且\(x\)不能被\(a\)集合中除他以外的元素表示出來。（即\(\forall y⊆a,\exists x\in a,x\notin t,x\neq \sum\limits_ a\)）
我們假設\(x\notin b\)，由於兩個集合等價，所以\(b\)集合一定能夠表示出\(x\)，換句話說\(\exists x⊆b,x=\sum\limits_b\)
那麼\(x\)集合中的元素中至少有乙個不在\(a\)內，並且不能被集合\(a\)裡的元素組成（因為如果不存在的話\(a\)內的元素就可以表示\(x\)了）。這樣與\(b\)集合的定義產生矛盾。這樣我們可以證明。
證明2：\(b⊆a\)
證明：假設\(\exists x\in b,x\notin a\)
根據題目條件，\(x\)一定可以被\(a\)集合內的數字所組成。那麼必然\(\exists u⊆a,u=\)可以用來組成\(x\)並且這些元素都不能被\(a\)集合內的元素組成（因為如果\(a_i\)能被\(a\)集合內其他數組成，那麼必然可以用那些數來代替\(a_i\)），根據上乙個結論我們知道\(u⊆b\).
那麼也就是說\(x\)可以被\(b\)集合內的數字組成，那麼凡是可以用\(x\)組成的數都可以被\(b\)集合內的其他數字組成，那麼也就是說即便從集合\(b\)中去掉\(x\)元素也依舊滿足條件，這就與\(b\)集合的定義矛盾。
所以\(\forall x\in b,x\in a \iff b⊆a\)
演算法最後：在\(a\)集合中，能被其他數組成的數必然不在\(b\)集合內
到這裡，我們只需要計算出\(a\)集合內存在多少個能被其他數計算出來的就行了。
使用完全揹包。
根據常識，我們知道\(x\)只能被他小的數字組成。
我們對陣列排個序，然後對於每乙個數考慮能不能被它前面的數字所組成。我們知道如果\(x\)能夠被前\(i\)個數字組成，並且組成\(x\)的數中包含\(a_i\)，那麼\(x-a_i\)也可以用前\(i\)個數來組成。那麼我們很容易想到定義\(f(x)\)表示\(x\)能否被組成，則\(f(x)=f(x)∨f(x-a_i)\)
#include#include#includeusing namespace std;
#define maxai 25005
#define maxn 105
int f[maxai];
int a[maxn];
int main()
for(j=a[i];j<=a[n];j++)
}printf("%d\n",ans);
}return 0;
}
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