先從反演原理出發，假如存在兩個數列 \(f, g\)，我們知道 \(f_n = \sum\limits_ ^ n a_ \times g_i\)，則 \(g_n = \sum\limits_ ^ n b_ \times f_i\) 恆成立，那麼我們由 \(f\) 推出 \(g\) 的過程叫做反演。下面我們來**一下上面兩個式子恆成立的條件，將左邊帶入右邊，那麼有：
\[\begin
g_n &= \sum\limits_ ^ n b_ \sum\limits_ ^ i a_ g_j\\
&= \sum\limits_ ^ n g_i \sum\limits_ ^ n b_ \times a_
\end
\]因此，如果反演要成立，則 \(\sum\limits_ ^ n b_ \times a_ = [i = n]\)，因此我們只需要找到這樣一種恒等式，就能自己構建起一套反演體系。而我們常見的二項式反演大多來自於這樣兩個恒等式：
\[\sum\limits_ ^ n (-1) ^ i \dbinom = [n = 0]
\]\[\sum\limits_ ^ m (-1) ^ \dbinom \times \dbinom = [n = m]
\]前乙個式子的證明考慮使用二項式定理 \((x + y) ^ n = \sum\limits_ ^ n \dbinom x ^ i y ^ \)，令 \(x = -1, y = 1\) 即可。
再來考慮證明後乙個式子：
\[\begin
\sum\limits_ ^ m (-1) ^ \dbinom \times \dbinom &= \sum\limits_ ^ m (-1) ^ \dbinom \times \dbinom\\
&= \dbinom \sum\limits_ ^ m (-1) ^ \times \dbinom\\
&=\dbinom \sum\limits_ ^ (-1) ^ i \times \dbinom
\end
\]最後一步同樣考慮二項式定理 \(\dbinom \times (-1 + 1) ^ = \dbinom \sum\limits_ ^ (-1) ^ i \times \dbinom = [n = m]\)。
那麼我們能通過這兩個恒等式造出那些反演公式呢？
第乙個恒等式最經典的即 \(f_n = \sum\limits_ ^ m \dbinom g_i \times k_i, g_0 = \sum\limits_ ^ m (-1) ^ i f_i\)，也就是我們通常使用的容斥。組合意義即欽定 \(i\) 個位置非法其餘位置隨意的方案，然後計算出沒有位置非法的方案。雖然上面的式子推出來與反演原理不同，但將左邊帶入右邊最終證明是與式一是完全一致的。
接下來是由式二帶出來的反演公式：
\[f_n = \sum\limits_ ^ n (-1) ^ i \dbinom g_i, g_n = \sum\limits_ ^ n (-1) ^ i \dbinom f_i
\]這是乙個極其對稱的式子，也非常的好記，但一般而言 \(f, g\) 的關係會是下面這種形式：
\[f_n = \sum\limits_ ^ n \dbinom g_i, g_n = \sum\limits_ ^ n (-1) ^ \dbinom f_i
\]注意這裡 \(i\) 可以從 \(m\)（乙個任意的數）開始，因為運用上面的恒等式二的方法證明時不需要保證 \(i\) 從 \(0\) 開始。
然而，二項式定理一般出現最多的情況是下面這種：
\[f_n = \sum\limits_ ^ m \dbinom g_i, g_n = \sum\limits_ ^ m (-1) ^ \dbinom f_i
\]同樣把左邊帶入右邊與恒等式二本質相同的證法即可證明。其實，二項式定理擴充套件到高維形式也是成立的，接下來的做題記錄當中將會提到。
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