NOIP2014 飛揚的小鳥

為了簡化問題，我們對遊戲規則進行了簡化和改編:

遊戲介面是乙個長為 $n$，高為 $m$ 的二維平面，其中有 $k$ 個管道（忽略管道的寬度）。

小鳥始終在遊戲介面內移動。小鳥從遊戲介面最左邊任意整數高度位置出發，到達遊戲介面最右邊時，遊戲完成。

小鳥每個單位時間沿橫座標方向右移的距離為 $1$，豎直移動的距離由玩家控制。如果點選螢幕，小鳥就會上公升一定高度 $x$，每個單位時間可以點選多次，效果疊加；如果不點選螢幕，小鳥就會下降一定高度 $y$。小鳥位於橫座標方向不同位置時，上公升的高度 $x$ 和下降的高度 $y$ 可能互不相同。

小鳥高度等於 $0$ 或者小鳥碰到管道時，遊戲失敗。小鳥高度為 $m$ 時，無法再上公升。

現在,請你判斷是否可以完成遊戲。如果可以，輸出最少點選螢幕數；否則，輸出小鳥最多可以通過多少個管道縫隙。

第 $1$ 行有 $3$ 個整數 $n$, $m$, $k$, 分別表示遊戲介面的長度，高度和水管的數量，每兩個整數之間用乙個空格隔開；

接下來的 $n$ 行，每行 $2$ 個用乙個空格隔開的整數 $x$ 和 $y$，依次表示在橫座標位置 $0 \sim n-1$ 上玩家點選螢幕後，小鳥在下一位置上公升的高度 $x$，以及在這個位置上玩家不點選螢幕時，小鳥在下一位置下降的高度 $y$。

接下來 $k$ 行，每行 $3$ 個整數 $p$, $l$, $h$,每兩個整數之間用乙個空格隔開。每行表示乙個管道，其中 $p$ 表示管道的橫座標，$l$ 表示此管道縫隙的下邊沿高度，$h$ 表示管道縫隙上邊沿的高度（輸入資料保證 $p$ 各不相同，但不保證按照大小順序給出）。

共兩行。

第一行，包含乙個整數，如果可以成功完成遊戲，則輸出 $1$，否則輸出 $0$。

第二行，包含乙個整數，如果第一行為 $1$，則輸出成功完成遊戲需要最少點選螢幕數，否則，輸出小鳥最多可以通過多少個管道縫隙。

我們來觀察一下題目，題目中有這樣一句話：

如果點選螢幕，小鳥就會上公升一定高度 $x$，每個單位時間可以點選多次，效果疊加；如果不點選螢幕，小鳥就會下降一定高度 $y$。

根據這句話，我們可以發現我們在$i$位置的操作分為兩個部分，在位置$i$跳還是不跳，跳幾步。這樣對於跳還是不跳，我們可以看作是乙個$01$揹包，而跳幾次就可以看作是乙個完全揹包，為了避免衝突，我們先來考慮完全揹包的情況。

我們把高度看作是空間大小那麼，我們可以定義狀態為$f[i][j]$表示從起點到位置$(i, j)$的最小步數。我們可以發現狀態$f[i][j]$是由上乙個狀態跳$k$下轉移過來的，而所謂的跳$k$下，我們可以用如下的狀態轉移方程來表示：$$f[i][j] = min(f[i - 1][j-x[i]], f[i][j - x[i])$$注意，我們觀察到，我們現在的轉移其實上是在$i-1$的位置跳了$k$下從而改變了$i$的高度，但是我們的呼叫的卻是$x[i]$，這是我在做這道題時膜拜其他大佬時最不解的地方，但是，看了很多份都是這樣寫的，卻沒有說明原因，後來自己寫的時候才明白過來。在題目中有這樣的描述：

接下來的 $n$ 行，每行 $2$ 個用乙個空格隔開的整數 $x$ 和 $y$，依次表示在橫座標位置 $0 \sim n-1$ 上玩家點選螢幕後，小鳥在下一位置上公升的高度 $x$，以及在這個位置上玩家不點選螢幕時，小鳥在下一位置下降的高度 $y$。

但是，我們在儲存 $x$ 和 $y$ 的陣列時卻是這樣儲存的：

for(int i = 1; i <= n; ++ i)	scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);

題目中描述的範圍是 $0 \sim n - 1$, 而我們儲存的時候範圍是$1 \sim n$所以我們要後移一位這也是為什麼要呼叫而不呼叫$x[i - 1]$。

除此之外，這道題還有乙個亮(keng)點，如果鳥飛到天上了怎麼辦，為什麼它不去死，這個情況需要我們特判一下。

然後我們再來分析$01$揹包，我們可以先發現這個狀態轉移方程求更好寫了：$$f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j + y[i]])$$

在這之後我們需要去掉那些有水管擋住的情況，把他們都賦值為無窮大，表示無法到達。

統計答案時，我們只需要掃瞄一遍$f[n][i]$看是否能夠到，最小值即為有解情況的答案，如果沒有解，掃瞄$0 \sim n-1$ 的所有位置，看是否有乙個$x$的所有高度都無法到達，即為答案。

#includeusing namespace std;
int low[10005], hight[10005], w[10005], x[10005], y[10005], f[10005][2005];
int main()
for(int i = 1; i<= m; ++ i) f[0][i] = 0;
for(int i = 1; i<= n; ++ i)
int ans = f[0][0];
for(int i = 1; i <= m; ++ i) ans = min(ans, f[n][i]);
if(ans < f[0][0])
int overtime, flag, j;
for(overtime = n; overtime >= 1; -- overtime)
ans = 0;
for(int i = 1; i <= overtime; ++ i) ans += w[i];
printf("0\n%d\n", ans);
return 0; 
}

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