如果我們有乙個這樣的式子 f(
n)=∑
i=0n
g(i)
cni' role="presentation">f(n
)=∑i
=0ng
(i)c
inf(
n)=∑
i=0n
g(i)
cni並且我們已經知道了
f' role="presentation" style="position: relative">f
f，我們能否直接求出
g' role="presentation" style="position: relative">g
g呢？答曰：可以。這個東西就叫做二項式反演。結果就是 g(
n)=∑
i=0n
(−1)
n−ic
nif(
i)' role="presentation">g(n
)=∑i
=0n(
−1)n
−ici
nf(i
)g(n
)=∑i
=0n(
−1)n
−icn
if(i
)怎麼證？
一般證明反演的套路，我們帶入一下g(
n)=∑
i=0n
(−1)
n−ic
ni∑j
=0ig
(j)c
ij' role="presentation">g(n
)=∑i
=0n(
−1)n
−ici
n∑j=
0ig(
j)cj
ig(n
)=∑i
=0n(
−1)n
−icn
i∑j=
0ig(
j)ci
j改變一下列舉順序 g(
n)=∑
j=0n
g(j)
∑i=j
n(−1
)n−i
cnic
ij' role="presentation">g(n
)=∑j
=0ng
(j)∑
i=jn
(−1)
n−ic
incj
ig(n
)=∑j
=0ng
(j)∑
i=jn
(−1)
n−ic
nici
j暴拆之後，我們發現乙個式子 cn
icij
=cnj
cn−j
n−i' role="presentation">cin
cji=
cjnc
n−in
−jcn
icij
=cnj
cn−j
n−i替換一下 g(
n)=∑
j=0n
g(j)
∑i=j
n(−1
)n−i
cnjc
n−jn
−i' role="presentation">g(n
)=∑j
=0ng
(j)∑
i=jn
(−1)
n−ic
jncn
−in−
jg(n
)=∑j
=0ng
(j)∑
i=jn
(−1)
n−ic
njcn
−jn−
ig(n
)=∑j
=0nc
njg(
j)∑i
=jn(
−1)n
−icn
−jn−
i' role="presentation">g(n
)=∑j
=0nc
jng(
j)∑i
=jn(
−1)n
−icn
−in−
jg(n
)=∑j
=0nc
njg(
j)∑i
=jn(
−1)n
−icn
−jn−
i後面的東西直接二項式定理 g(
n)=∑
j=0n
cnjg
(j)(
−1+1
)n−j
' role="presentation">g(n
)=∑j
=0nc
jng(
j)(−
1+1)
n−jg
(n)=
∑j=0
ncnj
g(j)
(−1+
1)n−
j僅當n−
j=0' role="presentation" style="position: relative">n−j
=0n−
j=0，即
n=j' role="presentation" style="position: relative">n=j
n=j，
(−1+
1)n−
j' role="presentation" style="position: relative">(−1
+1)n
−j(−
1+1)
n−j才不為0 因此g
(n)=
cnng
(n)=
g(n)
' role="presentation">g(n
)=cn
ng(n
)=g(
n)g(
n)=c
nng(
n)=g
(n)證明完畢。
例題
二項式反演
先從反演原理出發，假如存在兩個數列 f,g 我們知道 f n sum limits n a times g i 則 g n sum limits n b times f i 恆成立，那麼我們由 f 推出 g 的過程叫做反演。下面我們來 一下上面兩個式子恆成立的條件，將左邊帶入右邊，那麼有 begin...
二項式反演
形式與多步容斥相似,公式與多步容斥類似，多步容斥公式為 a 1 cup a 2 cup.cup a n sum limits a i sum limits n 1 ig i g n sum limits n 1 if i 顯然這兩個公式是等價，也是相互推導的關係，因此我們得到了二項式反演的形式1 形...
Kings Colors 二項式反演
題目鏈結 題目大意 給定乙個n個節點的樹，給它染色並且使得相鄰節點異色。問恰好用k種顏色的染色方案數 恰好k種不是很好求，因為我們很難保證每種顏色都用到，於是我們先考慮求最多k種顏色。那麼就讓每個點和它的父親節點異色就可以了。也就是k k 1 n 1k k 1 k k 1 n 1 那麼我們令f i ...