求$\sum_^ni^mm^i$。$n \leq 1e9,m \leq 200$。
其實我也不知道這東西為啥叫「擾動法」，大概是在黑暗的邊緣試探？就是那種，人家再多一點就被您看破了，然後您就一定要搞他那麼一點去試探他的限度，一不小心給他搞爆了，這種感覺。
擾動三連：
等比數列求和：
$\sum_^na_i,a_i=a_1*q^$。
令$s_n=\sum_^na_i$。
給他日上個$n+1$。
$s_n+a_$
$=\sum_^a_i$
$=a_1+q\sum_^na_i$
$=a_1+qs_n$
可得$s_n=\frac$，厲害吧！
自然數冪求和：
$\sum_^ni^m$。
令$s_n^m=\sum_^ni^m$。
給他日上個$n+1$。
$s_n^m+(n+1)^m$
$=\sum_^i^m$
$=1+\sum_^n(i+1)^m$
$=1+\sum_^n\sum_^m\binomi^j$
$=1+\sum_^m\binom\sum_^ni^j$
$=1+\sum_^\binoms_n^j+s_n^m$
emmmmmm自己把自己日掉了，不虛我們把$m$變成$m+1$。
$s_n^+(n+1)^$
$=1+\sum_^\binoms_n^j+s_n^$
$=1+\sum_^\binoms_n^j+s_n^+(m+1)s_n^m$
已經知道了。$s_n^m=\frac-\sum_^\binoms_n^j}$。
可以$m^2$。要是給個好膜數可以$mlogm$。
這道題：
令$s_n^m=\sum_^ni^mm^i$。
給他日上個$n+1$。
$s_n^m+(n+1)^mm^\\$
$=\sum_^i^mm^i\\$
$=m+\sum_^i^mm^i\\$
$=m+m\sum_^(i+1)^mm^i\\$
$=m+m\sum_^m^i\sum_^m\binomi^j\\$
$=m+m\sum_^\binom\sum_^nm^ii^j\\$
$=m+m\sum_^\binom\sum_^nm^ii^j+ms_n^m$
emmmmmm為什麼這裡也要emmmmmm，因為化出來那個$\sum_^nm^ii^j$跟咱想象的不太一樣，那咱換個字母重來一遍。
令$s_n^k=\sum_^ni^km^i$。
如此$s_n^k+(n+1)^km^=...=m+m\sum_^\binoms_n^j+ms_n^k$。
搞定了。$m^2$解決。模數優秀可以$mlogm$。
bzoj3157 國王奇遇記
emmm。直接看題解好了 o m 不懂扔掉 總之，給我們另乙個處理複雜求和的方法 找到函式之間的遞推公式！這裡用錯位相減，然後想辦法轉化 由於根據二項式定理，展開之後會出現k i的乘方，所以展開，有助於變成f j 遞推下去 o m 2 include define reg register int ...
BZOJ 3157 國王奇遇記
bzoj 3157 傳送門 題意 求解 sum n m i cdot o m 2 做法 定義乙個函式 f i f i sum n k i cdot m 1 cdot f i sum n k i cdot m sum n k i cdot m k sum k 1 i cdot m k sum n k ...
BZOJ3157 國王奇遇記 神奇的推式子
先膜一發miskcoo，大佬的部落格上多項式相關的非常全 原題戳我 求 sum limits i mm i 設乙個函式 f i sum limits j im j 然後貌似用乙個叫擾動法 感覺就是錯位相消法 的東西，算一下 m 1 f i sum limits j 1 im j sum limits...