最短路徑問題

floyed演算法（時間複雜度為o(n3)，空間複雜度為o(n2)），是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題。

暑假，小哼準備去一些城市旅遊。有些城市之間有公路，有些城市之間則沒有，如下圖。為了節省經費以及方便計畫旅程，小哼希望在出發之前知道任意兩個城市之前的最短路程。

上圖中有4個城市8條公路，公路上的數字表示這條公路的長短。請注意這些公路是單向的。我們現在需要求任意兩個城市之間的最短路程，也就是求任意兩個點之間的最短路徑。這個問題這也被稱為「多源最短路徑」問題。

我們可以用乙個4*4的矩陣（二維陣列e）來儲存圖的資訊。比如：

具體如下

如果要讓任意兩點（例如從頂點a點到頂點b）之間的路程變短，只能引入第三個點（頂點k），並通過這個頂點k中轉即a->k->b，才可能縮短原來從頂點a點到頂點b的路程。當然這個中轉的頂點有時候甚至不止乙個，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上圖中從4號城市到3號城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通過1號城市中轉（4->1->3），路程將縮短為11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其實1號城市到3號城市也可以通過2號城市中轉，使得1號到3號城市的路程縮短為5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同時經過1號和2號兩個城市中轉的話，從4號城市到3號城市的路程會進一步縮短為10。

因此，我們可以遍歷每乙個點作為中間點k，然後計算最小值

for (k = 1; k <= n; k++)
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
if (e[i][j] > e[i][k] +e[k][j])
e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];

也許有的人會有疑問，這樣的遍歷只遍歷了中間點個數為1的情況，沒有考慮中間點個數大於等於1的情況。其實不然，在計算中間點為k的最小值的時候，把能更新的元素都更新了，比如說更新了e[i][j]，這時候矩陣中第i行第j列的元素實際上是e[i][k]+e[k][j]，而不是e[i][j]了。這邊用到了動態規劃的思想。

演算法核心：每次引入乙個點k來更新i到j最短距離，求出任意兩點之間的最短距離。

基本步驟如下：

從任意一條單邊路徑開始，所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。

對於每一對頂點u和v，看看是否存在乙個頂點w使得從u到w再到v比己知的路徑更短，如果是更新它。

對於所有的頂點，都重複上面的操作，直到遍歷所有的頂點。

用於計算乙個節點到其他節點的最短路徑。

它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件(廣度優先搜尋思想)，直到擴充套件到終點為止

通過dijkstra計算圖g中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

此外，引進兩個集合s和u。s的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而u則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

初始時，s中只有起點s；u中是除s之外的頂點，並且u中頂點的路徑是」起點s到該頂點的路徑」。然後，從u中找出路徑最短的頂點，並將其加入到s中；接著，更新u中的頂點和頂點對應的路徑。然後，再從u中找出路徑最短的頂點，並將其加入到s中；接著，更新u中的頂點和頂點對應的路徑。 … 重複該操作，直到遍歷完所有頂點。

初始狀態：s是已計算出最短路徑的頂點集合，u是未計算除最短路徑的頂點的集合！

第1步：將頂點d加入到s中。

此時，s=, u=。注:c(3)表示c到起點d的距離是3。

第2步：將頂點c加入到s中。

上一步操作之後，u中頂點c到起點d的距離最短；因此，將c加入到s中，同時更新u中頂點的距離。以頂點f為例，之前f到d的距離為∞；但是將c加入到s之後，f到d的距離為9=(f,c)+(c,d)。

此時，s=, u=。

第3步：將頂點e加入到s中。

上一步操作之後，u中頂點e到起點d的距離最短；因此，將e加入到s中，同時更新u中頂點的距離。還是以頂點f為例，之前f到d的距離為9；但是將e加入到s之後，f到d的距離為6=(f,e)+(e,d)。

此時，s=, u=。

第4步：將頂點f加入到s中。

此時，s=, u=。

第5步：將頂點g加入到s中。

此時，s=, u=。

第6步：將頂點b加入到s中。

此時，s=, u=。

第7步：將頂點a加入到s中。

此時，s=。

此時，起點d到各個頂點的最短距離就計算出來了：a(22) b(13) c(3) d(0) e(4) f(6) g(12)。

/*
* dijkstra最短路徑。
* 即，統計圖(g)中"頂點vs"到其它各個頂點的最短路徑。
* * 引數說明：
* g -- 圖
* vs -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點vs"到其它頂點的最短路徑。
* prev -- 前驅頂點陣列。即，prev[i]的值是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑所經歷的全部頂點中，位於"頂點i"之前的那個頂點。
* dist -- 長度陣列。即，dist[i]是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑的長度。 */
void dijkstra(graph g, int vs, int prev, int
dist)
//對"頂點vs"自身進行初始化
flag[vs] = 1
; dist[vs] = 0
; 
//遍歷g.vexnum-1次；每次找出乙個頂點的最短路徑。
for (i = 1; i < g.vexnum; i++)
}//標記"頂點k"為已經獲取到最短路徑
flag[k] = 1
; 
//修正當前最短路徑和前驅頂點
//即，當已經"頂點k的最短路徑"之後，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"。
for (j = 0; j < g.vexnum; j++)}}
//列印dijkstra最短路徑的結果
printf("
dijkstra(%c): \n
", g.vexs[vs]);
for (i = 0; i < g.vexnum; i++)
printf(
"shortest(%c, %c)=%d\n
", g.vexs[vs], g.vexs[i], dist[i]);
}

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