之前的作業裡有\([dh]\)裡的一道題, 問:你有1個棧\(s\), 乙個變數\(x\)可以用於儲存; 現有:
\(read(x)\) (每次操作將\(1\)~\(n\)之間的整數按照從小到大順序讀入\(x\)中,每個數隻\(read1\)次);
\(print(x)\);
\(push(x,s)\);
\(pop(x,s)\)四種操作.
求對於正整數\(n\),可以列印多少種\(1\)~\(n\)的全排列(原題問的是有多少種打不出來)?
\(solution:\)
\(如下程式:\)
read(x);
push(x,s);
pop(x,s);
print(x,s);
read(x);
print(x,s);
因此考慮前\(n\)個正整數的進棧與出棧構成的\(01\)序列(規定入棧為0,出棧為1),與列印的排列可以建立一一對映,只需要計算\(nums\_of(0)=nums\_of(1)=n\)的棧序列數即可.
其中,因為\(pop\)空棧非法, 對於棧序列的任意字首, 有\(nums\_of(0)\geqslant nums\_of(1)\).
答案是:\(\frac}\)
\(proof:\)
\[\begin
&顯然所有的01序列共有\tbinom種\\
&而對於所有的非法序列,我們建立函式f: \:\rightarrow \\
&\\\
&注意到flip()具有flip(flip(x))=x,x \in \的性質\\
&因此f有反函式, 是bijection.\\
&非法序列數=2n位中(n+1)位0和(n-1)位1的排列數=\tbinom\\
&合法序列數=\tbinom-\tbinom=\frac}
\end
\]\(即為第n個catalan數:c(n)=\frac}\)
還有乙個遞推公式:
分治:對乙個合法序列:找到第乙個\(nums\_of(0)=nums\_of(1)\)的字首(一定存在),則它與字尾都是合法序列.
而對於第乙個\(nums\_of(0)=nums\_of(1)\)的字首,等價於\(0++1\),
因此,第乙個長度為\(2n\)的\(nums\_of(0)=nums\_of(1)\)的字首的個數\(=c(n-1)\)
\[\begin
&補充定義:c(0)=1\\
&則c(n)=\sum_^ c(i-1)c(n-i)
\end
\]可以用這個公式dp求第(前)\(n\)個\(catalan\)數:
#include#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
ll c[114514] ;
int main()
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