3 3 極大線性無關組以及 向量的秩

2022-06-08 12:27:10 字數 3777 閱讀 7367

定義 1:

向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個部分組滿足兩個條件:

(1)這個部分組線性無關

(2)從向量組的其餘向量(如果存在的話)中任取乙個向量添進來,得到的新的部分組都線性相關

稱為這個向量組的乙個極大線性無關組。

設向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個極大線性無關組,不妨設為\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)

\((m \leq s)\)

由於\(\alpha_j = 0\alpha_1 + \dots + 0\alpha_ + 1\alpha_j + 0\alpha_ + \dots + 0\alpha_s\)

所以極大線性無關組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)中每乙個向量,都可以由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出。

反之,\(\alpha_i(1 \leq i \leq m)\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出,而\(\alpha_j(m < i \leq s)\)由於\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m,\alpha_j\)線性相關,因此\(\alpha_j\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。

因此\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每乙個向量都可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。

若向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每乙個向量都可以由向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。

則稱\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。

如果向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可以相互線性表出,則稱這兩個向量組等價。記作\(\ \cong \\)

由上述討論證明了:

命題 1:向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與它的任意乙個極大線性無關組等價。

向量組的等價具有性質:

(1) 每個向量組與自身等價(反身性)

(2) 若\(\ \cong \\),則\(\\cong \\)(對稱性)

(3) 若\(\ \cong \\),且\(\\cong \\),則\(\\cong \\)(傳遞性)

證明:只需要證線性表出具有傳遞性。

\[\alpha_i = \sum_^ra_\beta_j,i = 1,2,\dots ,s \\

\beta_j = \sum_^tb_\gamma_l, j = 1, 2, \dots ,r \\

\begin

\alpha_i &= \sum_^ra_\sum_^tb_\gamma_l \\

&= \sum_^r(\sum_^ta_b_\gamma_l) \\

&= \sum_^r(\sum_^ta_b_)\gamma_l

\end

\]從而\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可由\(\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\)線性表出。

由向量組等價的對稱性和傳遞性得:

命題 2:向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)任意兩個極大線性無關組等價

引理 1:

設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出,如果\(r > s\),那麼\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)一定線性相關。

證明:由已知,

\[\beta_1 = a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s \\

\cdots \\

\beta_r = a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s

\]\[\begin

x_1\beta_1 + \dots + x_r\beta_r &= x_1(a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s) + \dots + x_r(a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s) \\

&= (a_x_1 + \dots a_x_r)\alpha_1 \\

&+ \dots \\

&+ (a_x_1 + \dots a_x_r)\alpha_s \\

\end

\]考察齊次線性方程組:

\[\begin

a_x_1 + \dots a_x_r = 0 \\

\dots \\

a_x_1 + \dots a_x_r = 0

\end

(1)\]

由已知條件,\(s < r\),因此方程組(1)必有非零解,

取乙個非零整數解(\(k_1, k_2, \dots ,k_r\))有\(k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \dots + k_r\beta_r = 0\)

因此\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性相關。

推論 1:設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出,如果\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性無關,那麼\(r \leq s\)

推論 2:等價的線性無關的兩個向量組所含向量的個數相等(\(r \leq s\),又\(s \leq r\),因此\(r = s\))

推論 3:向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數相等。

定義 3:向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意乙個極大線性無關組所含向量的個數稱為向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的秩。

只含零向量的向量組的秩規定為\(0\)。

記為:\(rank\\)

命題 3:向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關\(\leftrightarrow\)

\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)是向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個極大線性無關組。\(\leftrightarrow\)

\(rank\ = s\)

命題 4:向量組(i)可以由向量組(ii)線性表出,則\(rank(i) \leq rank(ii)\)

證明:取向量組(i)的極大線性無關組(i'),取向量組(ii)的極大線性無關組(ii')。

其中(i)與(i')等價,(ii)與(ii')等價。又(i)可以由(ii)線性表出,由傳遞性(i')可以由(ii')線性表出,其中(i')線性無關。

由命題2的推論1,(i')的向量個數\(\leq\)(ii')的向量個數,因此\(rank(i) \leq rank(ii)\)

推論 4:若兩個向量組等價,那麼它們的秩相等。

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