矩陣與座標變換

2022-06-11 23:57:19 字數 1608 閱讀 1830

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一,在平面中,乙個點繞任意點旋轉θ度後的點的座標 

假設對二維空間上任意點(x1,y1),繞乙個座標點(x0,y0)逆時針旋轉a角度後的新的座標設為(x2, y2),有公式:

x2= (x1 - x0)*cos(a) - (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

y2= (x1 - x0)*sin(a) + (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;

由該公式易得,

1,當順時針旋轉時,只需要將 a 變成 -a  就可以了

2,當 a 為 90度時 ,

x2 = - ( y1 - y0 ) +x0

y2 = x1 - x0 + y0

3,當 a 為 90度時 ,

x2 =  ( y1 - y0 ) +x0

y2 = - ( x1 - x0 ) + y0

4, 當座標軸,以向右為 x 軸正向 ,向下 軸為 y 軸 時,依然是順時針有

x2= (x1 - x0)*cos(a) + (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

y2= (x1 - x0)*sin(a) - (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;

y 都變成 -y,但是 最後加上 x0,y0 的不能改,這是旋轉點的座標,不能改,

而前面的是 改變量 ,運算時要要考慮到座標,所以需要更改。

二 ,矩陣與座標轉換

看上去好麻煩,不過如果用矩陣去證明的話,還是比較簡單的,

畢竟,矩陣創造出來就是用來解決線性代換的問題。

三大基礎初等座標變化包括

1,旋轉變換:

2,伸縮變換:

3,平移變換:

其他任意初等座標變換的都可以由這三個變換經有限次復合得到。

所以任意初等變化都可以表示成以下形式

比如繞著(a,b)順時針旋轉θ可以看成,平移(-a,-b),旋轉θ,平移(a,b)這三步復合得到,即:

即 :

所以該式展開就是上面的:

x2= (x1 - x0)*cos(a) - (y1 - y0)*sin(a) + x0 ;

y2= (x1 - x0)*sin(a) + (y1 - y0)*cos(a) + y0 ;     只不過是符號換了一下

再比如,以(a,b)為中心,橫座標擴大n倍,縱座標擴大m

總結:任意初等座標變換的實現可以用矩陣來表示。

乙個男人生前要達到什麼程度的不可一世,才能避免死於無名?  ——《陳二狗的妖孽人生》

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