蛋蛋非常熱衷於挑戰自我,今年暑假他準備沿川藏線騎著自行車從成都前往拉薩. 川藏線的沿途有著非常美麗的風景,但在這一路上也有著很多的艱難險阻,路況變化多端,而蛋蛋的體力十分有限,因此在每天的騎行前設定好目的地,同時合理分配好自己的體力是一件非常重要的事情. 由於蛋蛋裝備了一輛非常好的自行車,因此在騎行過程中可以認為他僅在克服風阻做功(不受自行車本身摩擦力以及自行車與地面的摩擦力影響). 某一天他打算騎 $n$段路,每一段內的路況可視為相同：
對於第 $i$段路,我們給出有關這段路況的 $3$個引數$s_i,k_i,v_i'$，其中 $s_i$表示這段路的長度，$k_i$表示這段路的風阻係數，$v_i'$表示這段路上的風速（$v_i' > 0$表示在這段路上他遇到了順風，反之則意味著他將受逆風影響）。
若某一時刻在這段路上騎車速度為 $v$，則他受到的風阻 大小為 $f=k_i(v-v')^2$（這樣若在長度為 $s$的路程內保持騎行速度 $v$不變,則他消耗能量（做功）$e=k_is_i(v-v')^2$）。
設蛋蛋在這天開始時的體能值是 $e_u$，請幫助他設計一種行車方案,使他在有限的體力內用最短的時間到達目的地。請告訴他最短的時間 $t$是多少。
先令在順風路段的車速為風速，逆風路段的車速為$0$，這樣可以得到消耗能量的最小值
考慮消耗能量提公升速度，從而減少時間
可以作出每個路段的$t-e$影象，發現不同路段消耗單位能量減少的時間不同
貪心地想，每次都選擇單位能量減少時間最多的那條路段，在該路段上花費能量
如此反覆，最終能量耗盡時，所有路段上的$t-e$影象在該路段消耗的$e_i$處切線斜率相等
$$\left \
e=ks(v-v')^2\\
v=\frac
\end \right .$$
解$t$對於$e$的導數，二分該導數
[noi2012]騎行川藏
Luogu P2179 NOI2012 騎行川藏
給定 n 個路段，每個路段用三個實數 s i,k i,v prime i 描述，最小化 f v 1,cdots v n sum limits frac 其中 v 1,cdots v n 均為非負實數而且需要滿足 varphi v 1,cdots,v n sum limits k i v i v i ...
NOI 2012 騎行川藏
題意 在滿足 i vi 0且 n i 1k isi vi t i 2 e 前提下最小化 n i 1s i vi 學習了一下拉格朗日橙子乘子法。對於函式f x1,x 2,xn 和g x1,x 2,xn 在滿足g c c為 常數 的前提下求 f 的最小值。我們直觀地想象，所有極值點一定滿足 f g 令f...
NOI2012 騎行川藏
noi2012 騎行川藏 思路一 二分導數 考慮 價效比 即花費單位能量縮短的時間。如果我們給每一段隨機分配乙個速度，再調整 那麼一定選擇價效比最高的調整，或者把價效比較低的能量取回，再分配 而價效比隨著能量分配，會越來越低 可以發現的是，最後所有的n段的價效比一定都相同！如果存在不同的，那麼一定可...