清華集訓2016 如何優雅地求和

2022-06-18 05:51:11 字數 1482 閱讀 9488

記多項式第\(i\)項係數是\(b_i\)

\[ans = b_0 + \sum_^b_i \sum_^ k^i \binom x^k(1-x)^

\]我們考慮用第二類斯特林數展開\(k^i\)

\[k^i=\sum_^s(i,j)j! \binom

\]於是

\[\begin

ans &= b_0 + \sum_^b_i \sum_^ k^i \binom x^k(1-x)^\\

&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^ \sum_^s(i,j)j! \binom \binom x^k(1-x)^\\

&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \sum_^ \binom \binom x^k(1-x)^\\

&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \sum_^ \binom \binom x^k(1-x)^\\

&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j \sum_^ \binom x^(1-x)^\\

&= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j\\

\end

\]獲得乙個\(o(m^2)\)做法

我們考慮優化,展開第二類斯特林數

\[s(i,j)=\frac \sum_^(-1)^ \binom k^i = \frac \sum_^(-1)^ \binom k^i

\]於是

\[\begin

ans &= b_0 + \sum_^b_i \sum_^s(i,j)j! \binom x^j\\

&= b_0 + \sum_^ j! \binom x^j \sum_^b_i s(i,j)\\

&= b_0 + \sum_^ j! \binom x^j \sum_^b_i \frac \sum_^(-1)^ \binom k^i\\

&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^b_i \sum_^(-1)^ \binom k^i\\

&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom \sum_^b_ik^i\\

\end

\]發現\(\sum_^b_ik^i\)就是\(f(k)-b_0\)

出題人非常涼心地給出了點值讓我們不需要多點求值

於是\[

\begin

ans &= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom \sum_^b_ik^i\\

&= b_0 + \sum_^ \binom x^j \sum_^(-1)^ \binom (f(k)-b_0)\\

\end

\]後面的部分是乙個卷積的形式,ntt解決

\(b_0\)顯然是\(f(0)\)

於是就做完了

時間複雜度\(o(mlogm)\)

不過據說各種\(o(m^2)\)做法亂艹過這題

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