最短路徑演算法

時間複雜度o(n2)。

單源最短路徑演算法,邊權非負，

基於貪心思想。

演算法描述：

設起點為s,dis[v]表示從s到v的最短路徑，pre[v]為v的前驅節點，用來輸出路徑。

（a）初始化：dis[v]=0x7fffffff;dis[v]=0;pre[s]=0;

（b）for(int i=1;i<=n;i++)

1.在未被訪問過的點中找乙個點u使得dis[u]是最小的。

2.u標記為已確定最短路徑。

3.for與u相連的每個未確定最短路徑的點v

if(dis[u]+w[u][v]

dis[v]=dis[u]+w[u][v];//鬆弛

pre[v]=u;//記錄這條路徑

}模板題：最小花費

code:

#include#include

#include
#define maxn 2010
using
namespace
std;
int n,m,x,y,a,b,peo;//
n m位總人數和可轉賬人對數，x y z a b見題目，peo指現在的這個人
double
minn;
double
dis[maxn],z[maxn][maxn];
bool
f[maxn];
void dijkstra(int
d) f[peo]=true
; 
if(peo==b) break
; 
for(int j=1;j<=n;j++)
if((!f[j])&&dis[peo]*z[peo][j]>dis[j])
dis[j]=dis[peo]*z[peo][j];
}}int
main()
cin>>a>>b;
dijkstra(a);
printf(
"%.8lf\n
",100.0/dis[b]);
return0;
}

時間複雜度o(ne),其中n是頂點數，e是邊數。

單源最短路徑演算法，能處理存在負邊權的情況，但無法處理存在負權迴路的情況，基於迭代思想。

演算法描述：

設s為起點，dis[v]為s到v的最短距離，pre[v]為v的前驅，w[j]為邊j的長度，且j連線u和v。

（a）初始化：dis[v]=0x7fffffff;dis[s]=0;pre[s]=0;

（b）for(int i=1;i<=n-1;i++)

for(int j=1;j<=e;j++)

if(dis[u]+w[j]

dis[v]=dis[u]+w[j];

pre[v]=u;

}時間複雜度o(ke),其中k是乙個較小的常數（所有頂點進隊的頻率次數），e為邊數。注意，在特殊構造的圖上，該演算法很可能退化為o(nm)。

單源最短路徑演算法，能處理存在負邊權的情況，但無法處理存在負權迴路的情況，是佇列優化的bellman—ford。

演算法描述：

void

spfa()} }
}

方法二：從起點到該點的最短路中的點數大於n。

時間複雜度o（n3）。

多源最短路徑演算法，能處理存在負邊權的情況，基於dp思想。

演算法描述：

（a）初始化：點u和v如果有邊相連，則dis[u][v]=w[u][v]。

（b）for(int k=1;k<=n;k++)

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=1;j<=n;j++)

if((i!=j)&&(k!=j)&&(i!=k)&&(dis[i][k]+dis[k][j]

dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];

注意：k一定要放在最外層迴圈！！！很重要！！！

原理：k一次性更新了所有的點對，更新i和j時保證了i-k的距離已經被更新過了，所以f[k][i][j]表示i和j之間可通過前k個節點的最短路徑。

精髓：依次掃瞄每一點(k),並以該點作為中介點，計算出通過k點的其他任意兩點(i,j)的最短距離。

兩種可能:1.經過第k個點不能找到最短路徑，f[k][i][j]=f[k-1][i][j]

2.經過第k個點更找到更短的路徑，f[k][i][j]=f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]

因為f[k]只與f[k-1]有關,所以f最外層一維空間可以省略。

for(int k=1;k<=n;k++)

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