線性代數 21特徵值和特徵向量

2022-06-20 02:45:07 字數 4879 閱讀 5802

這節課將講解課程中很大的主題,還是對方陣而言,討論特徵值和特徵向量,下一節課講解應用。

給定矩陣 \(a\)

矩陣作用在向量上,矩陣 \(a\) 的作用就像輸入向量 \(x\) ,結果得到向量 \(ax\)。就像乙個函式,微積分中的函式表示作用在數字 \(x\) 上得到 \(f(x)\) ,矩陣就是一種變換。

在這些 \(x\) 向量中,我們比較感興趣的是變換前後還與原來互相平行的向量,多數向量而言,\(ax\) 是不同方向的,有特定的向量能使得 \(ax\) 平行於 \(x\) 。這些 \(x\) 就是特徵向量

\(x\) 只經行了縮放變換,方向並沒有改變。

\[ax=\lambda x

\]其中,\(\lambda\) 是所成係數,可以是負值或零。負值表示變換前後方向相反。這個值就是特徵值

零特徵值,表示 \(ax=0x\) ,\(x\) 是零空間裡面的向量。如果 \(a\) 是奇異矩陣,說明把她作用到非零向量 \(x\) 後得到 0

零向量可以取任意方向,和任意向量平行。

前面也提過,零向量垂直於任意向量,因為零向量點乘任何向量都為零

注意,\(x\) 非零。

在引入行列式求解特徵向量和特徵值之前,我們先看看已學矩陣的特徵向量和特徵值是什麼。

例子1假設給定某個平面,將向量 \(b\) 通過投影矩陣 \(p\) 投影到平面上。投影矩陣的特徵向量和特徵值分別是什麼?

當 \(b\) 是平面上任意向量時,投影的結果還是 \(x\) 。

\[px=x

\]\(p\) 是變換矩陣,此時 \(x\) 是特徵向量,特徵值 \(\lambda=1\)。

垂直於平面的向量(零空間)是特徵向量,特徵值 \(\lambda=0\)

\[px=0

\]例子2

假設有 \(2*2\) 置換矩陣

\[a=\left(

\begin

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end

\right)

\]我們可以求出她的兩個特徵向量和特徵值

\[x_1=\left(

\begin

1 \\

1 \\

\end

\right),\text=\left(

\begin

1 \\

1 \\

\end

\right),\lambda=1

\]\[x_1=\left(

\begin

-1 \\

1 \\

\end

\right),\text=\left(

\begin

1 \\

-1 \\

\end

\right),\lambda=-1

\]特徵值的性質

\(n*n\) 矩陣有 \(n\) 個特徵值

特徵值的和等於對角線的元素和,這個和數叫做"跡(trace)"。

\[\lambda's=a_+a_+a_+...+a_

\]在 \(2*2\) 例子中,一旦找到了乙個特徵值 ,就可以找到另乙個特徵值.

特徵值之積等於行列式

怎麼求解特徵值和特徵向量,此時方程有兩個未知量?

將右側向量移到左邊:

\[(a-\lambda i)x=0

\]對於非零 \(x\) ,相乘以後等於0,我們可以知道 \((a-\lambda i)\) 不可逆,是奇異的。可得

\[|a-\lambda i|=0

\]這個只含有 \(\lambda\) 方程叫做特徵(值)方程。

思路是先解出 \(\lambda\) 。\(\lambda\) 可能不只乙個,而是 \(n\) 個。

解出 \(\lambda\) 之後,取出乙個 \(\lambda\) 代入,利用消元法求解零空間基向量的方法,就可以求解出 \(x\) 。

\[a=\left(

\begin

3 & 1 \\

1 & 3 \\

\end

\right)

\]給定矩陣 \(a\) ,計算特徵值和特徵向量。

\[\begin

|a-\lambda i|=

\left|

\begin

3-\lambda & 1 \\

1 & 3-\lambda \\

\end

\right|=(3-\lambda)^2-1=

0\\\end

\]解得 \(\lambda_1=2\) , \(\lambda_2=4\) .

當 \(\lambda_1=4\) 時,

\[a-4i=\left(

\begin

-1 & 1 \\

1 & -1 \\

\end

\right)

\]該矩陣零空間基向量為

\[x_1=\left(

\begin

1 \\

1 \\

\end

\right)

\]當 \(\lambda_2=2\) 時,

\[a-2i=\left(

\begin

1 & 1 \\

1 & 1 \\

\end

\right)

\]該矩陣零空間基向量為

\[x_1=\left(

\begin

-1 \\

1 \\

\end

\right)

\]對比給定矩陣 \(\left(

\begin

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end

\right)\)和 \(\left(

\begin

3 & 1 \\

1 & 3 \\

\end

\right)\) .

會發現,

如果已知 \(a=\left(

\begin

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end

\right)\) ,$ax=\lambda x $ ,已知此時 \(a\) 的特徵值和特徵向量。

那麼對於\(a』=\left(

\begin

3 & 1 \\

1 & 3 \\

\end

\right)\) , $(a+3i)x=ax+3x=(\lambda+3) x $

矩陣 \(a\) 加上 \(3i\) ,特徵值加3,特徵向量不變。特徵向量 \(x\) 是兩個矩陣共同的特徵向量。

注意:

如果知道 \(b\) 的特徵值 \(\alpha\),\(b≠i\) ,已知 $ax=\lambda x $ ,是否可以 通過\(bx=\alpha x\),知道 \(a+b\) 的特徵值呢?

即 \((a+b)x=(\lambda+\alpha)x\) ?

不行,因為沒有理由 \(b\) 的特徵向量就是 \(x\) .。新矩陣 \(a+b\) 的特徵值不等於 \((\lambda+\alpha)\)

假設乙個 \(2*2\) 正交矩陣

\[q=\left(

\begin

0 & -1 \\

1 & 0 \\

\end

\right)

\]我們知道 跡 \(trace=\lambda_1+\lambda_2=0\) ,行列式為 \(detq=\lambda_1*\lambda_2=-1\)

計算\[det(q-\lambda i)=\left(

\begin

-\lambda & -1 \\

-1 & -\lambda \\

\end

\right)=\lambda^2+1=0

\]解得

\[\lambda_1=i,\lambda_2=-i

\]兩個特徵值是虛數。且互為共軛。

複數將在這裡正是進入這門課。實矩陣的特徵值是有可能是複數的。

如果矩陣是對稱,就不會存在複數特徵值,特徵值是實數。

如果越不對稱,比如上例,\(q^t\) 和 \(q\) 是反對陣,\(q^t=-q\),而對稱矩陣性質告訴我們,對稱矩陣的轉置還是原矩陣,該例子與對稱性質完全相反,這種矩陣的特徵值是純虛數。這時極端情況。

中間則是介於對稱和反對稱之間的矩陣,部分對稱,部分反對稱。

給定矩陣 \(a\)

\[a=\left(

\begin

3 & 1 \\

0 & 3 \\

\end

\right)

\]求這個矩陣的特徵向量和特徵值。

\[det(a-\lambda i)=\left|

\begin

3-\lambda & 1 \\

0 & 3-\lambda \\

\end

\right|=(3-\lambda)(3-\lambda)

\]解得

\[\lambda_1=3,\lambda_2=3

\]將 \(\lambda\) 代入,

\[(a-\lambda) x=\left(

\begin

0 & 1 \\

0 & 0 \\

\end

\right)x=0

\]計算零空間基向量

\[x_1=\left(

\begin

1 \\

0 \\

\end

\right),x_2=nothing

\]\(2*2\) 矩陣,只有乙個無關的特徵向量。

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