預備知識
整數分塊
整數分塊用來求類似如下的問題。
\(給定正整數n，求 \sum_^n[\frac]\)
\(性質1：設f(n) = [\frac], f是單調不增函式。\)
證明\(對任意的x，f(x+1) - f(x) = [\frac] - [\frac]。\)
\(由於\frac < \frac，那麼[\frac] <= [\frac]。\)
\(那麼f(x+1) - f(x) <= 0。 得證。\)
\(性質2：設集合p，自然數k。若任意的x \in p都有f(x) = k，一定有p = [l, r]。\)
\(換言之，下取整函式值相等的自變數一定落在連續區間內。\)
\(由性質1即得。\)
\(性質3：f(x) \ge 1。\)
\(這是由於x <= n。\)
\(性質4：給定n，任意給出正整數n，以及某一連續區間的左端點l，一定可以\)
\(求出這個區間的[\frac]，以及右端點r。設[\frac] = c。\)
\(證明：\)
\(1. 證明由n與l一定可以求出c。\)
\(由於l \in [l, r]，由性質2，f(l) = c。\)
\(2. 證明由n與l一定可以求出r。\)
\(我們定義w=[\frac]，可以證明r=w。\)
\((1) 證明w \in [l, r]。\)
\(由定義，若f(w) = c, 那麼c+1>\frac \ge c，即\)
\(n \ge c \times w 與\)
\(n < (c+1) \times w 同時成立\)
\(帶入w，有\)
\(n \ge c \times [\frac] ①\)
\(n < (c+1) \times [\frac] ②\)
\(①等價於 \frac \ge [\frac]，顯然成立\)
\(②等價於\frac < [\frac]。\)
\(將等號左邊變形，易有\)
\(1 - \frac < [\frac]，即\)
\(1 < [\frac] + \frac。\)
\(由性質3，[\frac] \ge 1，不等式成立。\)
\(於是，w \in [l, r]得證。\)
\((2) 證明 \forall x \in [l, r], x \le w。\)
\(即證明最大性。\)
\(即證，\forall x, x \le [\frac]}]。\)
\(由於x \le n, 易知n = kx + t，其中t < x。\)
\(原式等價於\forall x, x \le [\frac]}]\)
\(由於\frac = k + \frac < k + 1\)
\([\frac] = k。\)
\(原式等價於\forall x, x \le [\frac]\)
\(而[\frac] = [x+\frac] \ge [x]\)
\(故原式等價於\forall x, [\frac] \ge [x] = x，得證。\)
\((1)(2)證畢。\)
演算法實現
以\(給定正整數n，求 \sum_^n[n/i]\)
為例。
ll ans = 0;
for(int l=1, r; l<=n; l=r+1)
\(對於i < \sqrt，最多有\sqrt種答案；\)
\(對於i>\sqrt，由於\frac < \sqrt，也最多只有\sqrt種答案。\)
\(迴圈最多隻會迭代2\sqrt次，時間複雜度o(2\sqrt) = o(\sqrt)。\)
預備知識
手寫hashmap
挖坑xor
性質1 \(a \oplus b = c \oplus d 等價於 a \oplus c = b \oplus d\)
性質2 $a \oplus b = c 等價於a \oplus c = b $
實現思路假了，這題卡stl
可以手寫乙個hashmap，不想手寫hashmap的話可以這樣解決
\(題目等價於 x \oplus y = (1 << i) \oplus (1 << j)\)
\(由性質1 等價於 x \oplus (1<
\(可以用map存一下所有x \oplus (1<
\(這裡出現了乙個問題，滿足 x \oplus (1<
\(異或存在兩個1的，如果i = j了那麼結果裡只有乙個1\)
\(考慮所有x, y的可能性\)
\(a. x = y, i \neq j, 此時x \oplus (1<
\(b. x \neq y, i \neq j，此時分兩種情況\)
\(1. x \oplus (1<
\(即，x \oplus (1<
\(2. x \oplus (1<
\(c. x = y, i = j, 此時x \oplus (1<
\(每乙個x = y只會被遍歷一次。即，x \oplus (1<
\(d. x \neq y, i = j, 此時x \oplus (1<
\(綜上所述，對於x \oplus (1<
\(在列舉y \oplus (1<
\(x = y 且 i = j的次數容易想到是x=y的組數 * i的個數\)
這個思路說人話就是
\(給a消去乙個1，給b再消去乙個1，看看最後相等的組數\)
\(消去的1相同的那些組是不合法的，此時找a = b的對數即可\)
\(消的過程中難免因為順序會出現重複，/2即可\)
牛客練習賽9
時間限制 c c 1秒，其他語言2秒 空間限制 c c 32768k，其他語言65536k 64bit io format lld 珂朵莉想每天都給威廉送禮物，於是她準備了n個自己的本子 她想送最多的天數，使得每天至少送乙個本子，但是相鄰兩天送的本子個數不能相同 珂朵莉最多送幾天禮物呢 第一行乙個整...
牛客練習賽15
時間限制 c c 2秒，其他語言4秒 空間限制 c c 262144k，其他語言524288k 64bit io format lld 第一次期中考終於結束啦！沃老師是個語文老師，他在評學生的作文成績時，給每位學生的分數都是乙個小於10的非負小數。amy 8.99999999999999999999...
牛客練習賽5
給你n個正整數，n 5，每個正整數大小不超過1000，最初su m 0 sum 0 每次可將su m sum 按順序加上陣列中的數，加完之後可以對sum的數字進行全排列，求最終能達到的最大值。由於n只有5，所以按照題意模擬dfs實現就可以了，注意最後一組也可以按數字進行全排列。d題 include ...