演算法分析與優化策略

一、漸進時間複雜度

基本操作的數量往往可以寫成關於「輸入規模」的表示式，保留最大項並忽略係數後的簡單表示式稱為演算法的漸進複雜度，用於衡量基本運算元隨規模的增長情況。

例如：設輸入規模為n時加法操作的次數為t(n),t(n) = n(n+1)(n+2)/6。

當n很大時，平方項和一次項對整個多項式的影響不大，可以用乙個記號來表示：t(n) = θ(n3)，或者說t(n)和n3同階。

同階指「增長情況相同」。

（漸進時間複雜度忽略了很多因素，因而分析結果只能作為參考，並不是精確的。儘管如此，如果抓住了最主要的運算量所在，演算法分析的結果常常十分有用。）

二、上界分析

另一種推導時間漸進複雜度的方法：

下面是求最大連續和的**

int f(int p, int
n) }
}return
ans;
}

3重迴圈最壞情況下都需要n次，因此總運算次數不超過n3。上界的記號為t(n)=o(n3)。

在演算法設計中，常常不進行精確分析，而是假定各種最壞的情況同時取到，得到上界。在很多情況下，這個上界和實際情況同階（稱為「緊」的上界），但也有可能會因為分析方法不夠好，得到「松」的上界。

松的上界也是正確的上界，但可能讓人過高的估計程式執行的實際時間（從而不敢編寫程式），而即使上界是緊的，過大或過小的最高項係數同樣可能引起錯誤的估計。換句話說，演算法分析不是萬能，要謹慎對待分析結果。如果預感到上界不緊、係數過大或者過小，最好還是程式設計實踐。

ps.最大連續和的一種優化方法：

int f(int p, int s, int
n) 
for(int i = 1; i <= n; i ++)
}return
ans;
}int
main()
cout 
<< f(p, s, n) 
}

遞推思想

用類似的方法可得出t(n)=o(n2)

三、分治

根據最大連續和演算法的進一步優化，分析分治思想的效能。

分治演算法一般分為以下3個步驟：

劃分問題：把問題的例項劃分成子問題。

遞迴求解：遞迴解決子問題。

合併問題：合併子問題的解得到原問題的解。

最大連續和的分治演算法：

1、把序列分成元素個數盡量相等的兩半；2、分別求出完全位於左半或者完全位於右半的最佳序列；3、求出起點位於左半、終點位於右半的最大連續和序列，並和子問題的最優解比較。

int f(int a, int x, int y)//
返回在[x,y)中的最大連續和
int mid = x + (y - x) / 2, ans =a[x];
ans =max(ans, f(a, x, mid));
ans =max(ans, f(a, mid, y));
int l = a[mid - 1],r =a[mid];
for(int i = x; i < mid; i ++)
l =max(l, sum);
}for(int i = mid; i < y; i ++)
r =max(r, sum);
}ans = max(ans, l +r);
return
ans;
}

是否可以像前面那樣，得到tot（基本運算元）的數學表示式呢？注意求和技巧已經不再適應，需要用遞迴的思路進行分析：設序列長度為n的tot值為t(n)，則t(n)=2t(n/2)+n，t(1)=1。其中2t(n/2)

是2次長度為n/2的遞迴呼叫，最後的n是合併的時間。

解方程得t(n)=θ(nlogn)。nlogn增長很慢，比如，當n擴大2倍時，執行時間的擴大倍數只是略大於2。

遞迴方程t(n)=2t(n/2)+θ(n)

，t(1)=1的解為t(n)=θ(nlogn)。可以用解答樹證明這個理論，也可以作為乙個重要結論記下來。

該方法的2個細節：

1、左閉右開的「陣列分割」。使得處理自然。

2、(x+y)/2和x+(y-x)/2。數學上等價，在計算機中，前者是朝零取整，後者是朝區間起點取整。

四、正確對待演算法分析結果

假設機器速度是每秒108次基本運算，運算量為n3、n2、nlog2n、n、n!（排列）、2n（子集列舉）的演算法，在1s之內能解決最大問題規模n，如表所示：

運算量 n!

2nn3n2

nlog2n n

最大規模 11 26 464 10000 4.5*106 108

速度擴大兩倍後 11 27 584 14142 8.6*106 2*108

n!和2n不僅解決的問題規模非常小，而且增長緩慢；nlog2n、n

不僅解決問題的規模大，而且增長快。漸進時間複雜為多項式的演算法稱為多項式時間演算法，也稱有效演算法。像n!和2n 這樣低效的演算法稱為指數時間演算法。

需要注意的是，分析結果在趨勢上能反映演算法的效率，但有2個不確定性：一是公式本身的不精確性（係數、非主流操作的影響）；二是對程式實現細節與計算機硬體的依賴性。在不少情況下，演算法實際能解決的問題和表所示有著較大差異。

但是還是有一定借鑑意義的，例如n<=8，n！的演算法已經足夠了，n<=20，需要用到2n的演算法，n<=300，必須用至少n3的多項式時間演算法。

演算法分析與優化策略

演算法分析與優化

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演算法設計與分析課堂筆記（3）搜尋優化策略

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