一、函式的連續性
增量變數u:初值u1 -> 終值u2
增量δu: δu = u2-u1
正的增量δu:u1變到u2時是增大的
負的增量δu:u1變到u2時是減小的
函式的增量
即:當因變數增量隨自變數增量趨於0，稱為連續。
單側連續
·左連續:如果limx->x0- f(x)存在且等於f(x0) 即f(x0-) = f(x0)
·右連續:如果limx->x0+f(x)存在且等於f(x0) 即f(x0+) = f(x0)
·定理 函式f(x)在x0處連續=函式f(x)在x0處既左連續又右連續
連續函式
定義:在區間上每一點都連續的函式,叫做在該區間上的連續函式
或者說函式在該區間上連續
注1 如果區間包括端點,那麼函式在右端點處左連續，在左端點處右連續
注2 連續函式的圖形是一條連續而不間斷的曲線
例題例 證明函式y = sinx 在區間(-∞,+∞)內連續
二、函式的間斷點
第一類間斷點(左右極限都存在)
跳躍間斷點
·如果f(x)在x0處左右極限都存在
·但f(x0-0)≠f(x0+0)
則稱點x0為函式f(x)的跳躍間斷點
討論f(x) = 在x=0處的連續性
可去間斷點
·如果f(x)在x0處極限存在
·但limx->x0 f(x) = a ≠f(x0) 或在點x0處無定義
則稱點x0為函式f(x)的可去間斷點
注意·注1:可去間斷點只要改變或者補充間斷處函式的定義,則可使其變為連續點
·注2:跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點
第二類間斷點
·如果f(x)在x0處左右極限至少有乙個不存在
·則稱x0為函式f(x)的第二類間斷點
例題1討論f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0處的連續性
四、章小結
·函式在一點連續必須滿足的三個條件；
1.在這一點有定義
2.在這一點極限是存在的
3.極限存在的情況下 還要等於在這一點的函式值
·區間上的連續函式;
函式在區間上的任意一點都連續,我們就說函式在區間上是連續的
·間斷點的分類與判別;
間斷點{
第一類間斷點:可去型，跳躍型 (左右極限都存在
第二類間斷點:無窮型, 振盪型 (至少有乙個極限不存在
高等數學 連續與間斷
目錄 一 函式的連續性 1 一點連續 2 閉區間連續 二 函式的間斷點 1 定義 2 分類 三 閉區間上連續函式的性質 1.最大值與最小值定理 2.有界性 3.零點定理 4.介值定理 定義 設函式y f x 在點x0的某一領域內有定義，如果 那麼就稱函式f x 在點x0連續。在區間上每一點都連續的函...
函式的極限與連續性的關係
假設 f x f x f x 是乙個實函式，c cc 是乙個實數，那麼 lim x cf x l lim f x l x clim f x l表示 f x f x f x 可以任意地靠近 l ll，只要我們讓 x xx 充分靠近 c cc。此時，我們說當 x xx 趨向 c cc 時，函式 f x ...
高等數學一 函式與極限二 收斂數列的有界性的證明
證明收斂數列的有界性，只需要證明該數列的任何一項都落在乙個固定的範圍。數列x1,x2,x3一直到xn都落在乙個固定的範圍。可以用數學語言表示為 xn 已經知道該數列收斂，則有 xn a 則有 則有 a又有若數列有界的數學語言為 xn 則有 m則該範圍存在，為。同時需要注意，數列有界，和數列收斂，發散...