母函式wiki
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母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。
普通母函式就是最常見的母函式。一般來說，序列\((a_n)_\)的母函式是：\(g(a_n;x)=\sum^_a_nx^n\)
如果是某個離散隨機變數的概率質量函式，那麼它的母函式被稱為乙個概率母函式。
多重下標的序列也可以有母函式，例如序列\((a_)_\)的母函式是\(g(a_;x,y)=\sum^\infin_a_x^my^n\)
序列\((a_n)_\)的指數母函式是：\(eg(a_n;x)=\sum^_a_n\frac\)
序列\((a_n)_\)的泊松母函式是：\(pg(a_n;x)=\sum^_a_ne^\frac\)
序列\((a_n)_\)的l級數是：\(lg(a_n;x)=\sum^_a_n\frac\)
注意這裡的下標n從1 而不是0 開始。
關於算術函式:\(f(n)\)和\(p\)的貝爾級數是：\(f_p(x)=\sum^_f(p^n)x^n\)
狄利克雷級數經常被用作母函式，儘管實際上狄利克雷級數並不是嚴格意義上的形式冪級數。序列\((a_n)_\)的狄利克雷級數母函式是：\(dg(a_n;s)=\sum^_\frac\)
當\(a_n\)是積性函式時狄利克雷級數比較有用，因為這時的母函式可以寫成一系列貝爾級數的尤拉積：\(dg(a_n;s)=\prod f_p(p^)\)
如果\(a_n\)是狄利克雷特徵，那麼它對應的狄利克雷級數母函式被稱為狄利克雷l函式。
在原函式f為(1,1,1,1,.....)的情況下
\(f=\sum^_x^n=\frac\)
\(\sum^_c^_x^n=f^=\frac}\)
\(e^ = \sum\limits_^\frac=1 + x + \frac + \frac + \frac + \cdots\)
\(e^ = 1 - x + \frac - \frac + \frac + \cdots\)
\(\frac}=1+\frac+\frac+\frac+\cdots\)
\(\frac}=x+\frac+\frac+\frac+\cdots\)
\(\frac = \sum\limits_^ x^i\)
\(ln(1 + x) = \sum\limits_^ (-1)^ \frac}=x-\frac+\frac+\cdots\)
\((1 + x)^ = \sum\limits_^ a^}\frac=1+ax+\frac+\frac+\cdots\)
\(sin(x) = \sum\limits_^ (-1)^\frac}=x-\fracx^3+\fracx^5+\cdots\)
\(cos(x) = \sum\limits_^ (-1)^\frac}=1-\frac+\frac+\cdots\)
\(arcsinx=x+\frac\frac+\frac\frac+\frac\frac+\cdots\)
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